Painlevé domněnka - Painlevé conjecture

Konfigurace 5 těles Jeffa Sia se skládá z pěti bodových hmot, přičemž dva páry na excentrických eliptických drahách kolem sebe a jedna hmota se pohybují podél linie symetrie. Xia dokázal, že za určitých počátečních podmínek bude konečná hmotnost v konečném čase zrychlena na nekonečnou rychlost. To dokazuje domněnku Painlevé pro pět těl a více.

v fyzika, Painlevé domněnka je věta o singularity mezi řešeními n- problém s tělem: existují noncollision singularity pron ≥ 4.^[1][2]

Věta byla prokázána pro n ≥ 5 v roce 1988 do Jeff Xia a pro n = 4 v roce 2018 Jinxin Xue.^[3][4][5]

Pozadí a prohlášení

Řešení ${ displaystyle ( mathbf {q}, mathbf {p})}$ z n- problém s tělem ${ displaystyle { dot { mathbf {q}}} = M ^ {- 1} mathbf {p}, ; { dot { mathbf {p}}} = nabla U ( mathbf {q} )}$ (kde M jsou masy a U označuje gravitační potenciál ) se říká, že mají singularitu, pokud existuje posloupnost časů ${ displaystyle t_ {n}}$ konvergující do konečné ${ displaystyle t ^ {*}}$ kde ${ displaystyle nabla U left ( mathbf {q} left (t_ {n} right) right) rightarrow infty}$. To znamená, že síly a zrychlení se v určitém konečném čase stanou nekonečnými.

A kolizní singularita nastane, pokud ${ displaystyle mathbf {q} (t)}$ má sklon k určitému limitu, když ${ displaystyle t rightarrow t ^ {*}, t$. Pokud limit neexistuje, singularita se nazývá a pseudokolize nebo noncollision jedinečnost.

Paul Painlevé ukázal, že pro n = 3 jakékoli řešení se singularitou v konečném čase zažívá kolizní singularitu. Nepodařilo se mu však rozšířit tento výsledek na více než 3 těla. Jeho Stockholmské přednášky z roku 1895 končí domněnkou

Pro n ≥ 4 n-body problém připouští noncollision singularity.^[6][7]

Rozvoj

Edvard Hugo von Zeipel v roce 1908 dokázal, že pokud dojde ke kolizní singularitě, pak ${ displaystyle J ( mathbf {q} (t))}$ má sklon k určitému limitu jako ${ displaystyle t rightarrow t ^ {*}}$, kde ${ displaystyle J ( mathbf {q}) = součet _ {i} m_ {i} | mathbf {q} _ {i} | ^ {2}}$ je moment setrvačnosti.^[8] To znamená, že nezbytnou podmínkou pro nekolikační singularitu je to, že rychlost alespoň jedné částice bude neomezená (protože polohy ${ displaystyle mathbf {q}}$ zůstávají konečné až do tohoto bodu).^[1]

Matherovi a McGeheeovi se v roce 1975 podařilo dokázat, že v kolineárním problému se čtyřmi těly (tj. Se všemi těly na jedné přímce) může dojít k nekolizní singularitě, ale pouze po nekonečném počtu (regularizovaných) binárních kolizích.^[9]

Donald G. Saari v roce 1977 prokázáno, že pro téměř všechny (ve smyslu Lebesgueovo opatření ) počáteční podmínky v rovině nebo prostoru pro 2, 3 a 4-tělesné problémy existují řešení bez singularity.^[10]

V roce 1984 Joe Gerver argumentoval pro noncollision singularity v rovinném 5-těla problému bez kolizí.^[11] Později našel důkaz pro 3n tělo případ.^[12]

Nakonec ve své doktorské disertační práci z roku 1988 Jeff Xia demonstroval konfiguraci 5 těl, která prochází nekoliční singularitou.^[3][4]

Joe Gerver dal heuristický model pro existenci singularit 4 těl^[13].

Ve své disertační práci na University of Maryland v roce 2013 Jinxin Xue uvažoval o zjednodušeném modelu pro případ rovinného problému se čtyřmi těly v domněnce Painlevé. Na základě Gerverova modelu dokázal, že existuje Cantorova množina počátečních podmínek, které vedou k řešení Hamiltonovského systému, jehož rychlosti jsou v konečném čase zrychleny do nekonečna a vyhýbají se všem dřívějším srážkám. V roce 2018 Xue rozšířil svou předchozí práci a dokázal domněnku pro n = 4.^[14]

Reference