Padovanovy polynomy - Padovan polynomials - Wikipedia

v matematika, Padovanovy polynomy jsou zobecněním Padovan sekvence čísla. Tyto polynomy jsou definovány:

${ displaystyle P_ {n} (x) = left {{ begin {matrix} 1, qquad qquad qquad qquad & { mbox {if}} n = 1 0, qquad qquad qquad qquad & { mbox {if}} n = 2 x, qquad qquad qquad qquad & { mbox {if}} n = 3 xP_ {n-2} (x) + P_ {n-3} (x), & { mbox {if}} n geq 4. end {matrix}} right.}$

Prvních pár Padovanových polynomů je:

${ displaystyle P_ {1} (x) = 1 ,}$

${ displaystyle P_ {2} (x) = 0 ,}$

${ displaystyle P_ {3} (x) = x ,}$

${ displaystyle P_ {4} (x) = 1 ,}$

${ displaystyle P_ {5} (x) = x ^ {2} ,}$

${ displaystyle P_ {6} (x) = 2x ,}$

${ displaystyle P_ {7} (x) = x ^ {3} +1 ,}$

${ displaystyle P_ {8} (x) = 3x ^ {2} ,}$

${ displaystyle P_ {9} (x) = x ^ {4} + 3x ,}$

${ displaystyle P_ {10} (x) = 4x ^ {3} +1 ,}$

${ displaystyle P_ {11} (x) = x ^ {5} + 6x ^ {2}. ,}$

Padovanova čísla jsou získána vyhodnocením polynomů P_n-3(X) na X = 1.

Hodnocení P_n-3(X) na X = 2 dává nth Fibonacciho číslo plus (-1)ⁿ. (sekvence A008346 v OEIS )

The obyčejná generující funkce pro sekvenci je

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} P_ {n} (x) t ^ {n} = { frac {t} {1-xt ^ {2} -t ^ {3}} }.}$

Viz také

• Polynomiální sekvence