PROPT - PROPT

The PROPT^[1] MATLAB Optimální ovládání Software je platformou nové generace pro řešení aplikovaného optimálního řízení (s ÓDA nebo DAE formulace) a odhad parametrů problémy.

Platformu vyvinul vítěz programu MATLAB Programming Contest, Per Rutquist v roce 2008. Nejnovější verze podporuje binární a celočíselné proměnné i automatizovaný modul škálování.

Popis

PROPT je kombinovaná modelování, sestavení a řešič motoru, postavený na TomSym třída modelování, pro generování vysoce komplexních optimálních problémů řízení. PROPT používá a pseudospektrální Metoda kolokace (s Gaussovými nebo Čebyševovými body) pro řešení optimálních problémů s řízením. To znamená, že řešení má formu a Polynomiální a tento polynom splňuje DAE a cestu omezení v kolokačních bodech.

Obecně má PROPT následující hlavní funkce:

• Výpočet konstanty matice používané pro diferenciace a integrace polynomů použitých k přiblížení řešení k Optimalizace dráhy problém.
• Transformace zdroje, aby se změnila uživatelem výrazy do kódu MATLAB pro nákladovou funkci ${displaystyle f}$ a funkce omezení ${displaystyle c}$ které jsou předány a Nelineární programování řešitel v TOMLAB. Balíček zdrojové transformace TomSym automaticky generuje deriváty prvního a druhého řádu.
• Funkce pro vykreslování a výpočet různých informací pro řešení problému.
• Automatická detekce následujících položek:
  • Lineární a kvadratický cíl.
  • Jednoduché hranice, lineární a nelineární vazby.
  • Neoptimalizované výrazy.
• Integrovaná podpora pro nehladký^[2] (hybridní) optimální problémy s řízením.
• Modul pro automatické škálování složitých problémů souvisejících s prostorem.
• Podpora binárních a celočíselných proměnných, ovládacích prvků nebo stavů.

Modelování

Systém PROPT využívá motor transformace symbolických zdrojů TomSym k modelování optimálních problémů s řízením. Je možné definovat nezávislý proměnné, závislé funkce, skaláry a konstantní parametry:

 toms tf toms t p = tomPhase('p', t, 0, tf, 30); x0 = {tf == 20}; cbox = {10 <= tf <= 40}; toms z1 cbox = {cbox; 0 <= z1 <= 500}; x0 = {x0; z1 == 0}; ki0 = [1e3; 1e7; 10; 1e-3];

Státy a kontroly

Stavy a kontroly se liší pouze v tom smyslu, že stavy musí být mezi fázemi kontinuální.

 tomStates x1 x0 = {ilokovat({x1 == 0})}; tomControls u1 cbox = {-2 <= seřadit(u1) <= 1}; x0 = {x0; seřadit(u1 == -0.01)};

Hranice, cesta, událost a integrální omezení

Níže jsou zobrazeny různé hranice, cesty, události a integrální omezení:

 cbnd = počáteční(x1 == 1);       % Výchozí bod pro x1 cbnd = finále(x1 == 1);         % Koncový bod pro x1 cbnd = finále(x2 == 2);         % Koncový bod pro x2 cesta = seřadit(x3 >= 0.5);  % Omezení cesty pro x3 intc  = {integrovat (x2) == 1};  % Integrační omezení pro x2 cbnd = finále(x3 >= 0.5);       % Konečné omezení události pro x3 cbnd = počáteční(x1 <= 2.0);     % Omezení počáteční události x1

Příklad jednofázového optimálního řízení

Van der Pol oscilátor ^[3]

Minimalizovat:

${displaystyle {egin {matrix} J_ {x, t} & = & x_ {3} (t_ {f}) end {matrix}}}$

Předmět:

${displaystyle {egin {cases} {frac {dx_ {1}} {dt}} = (1-x_ {2} ^ {2}) * x_ {1} -x_ {2} + u {frac {dx_ { 2}} {dt}} = x_ {1} {frac {dx_ {3}} {dt}} = x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + u ^ {2} x (t_ {0}) = [0 1 0] t_ {f} = 5 -0,3leq uleq 1,0 end {případů}}}$

K vyřešení problému s PROPT lze použít následující kód (se 60 kolokačními body):

toms tp = tomPhase('p', t, 0, 5, 60);setPhase(p);tomStates x1 x2 x3tomControls u% Počáteční odhadx0 = {ilokovat({x1 == 0; x2 == 1; x3 == 0})    seřadit(u == -0.01)};Omezení% polecbox = {-10  <= ilokovat(x1) <= 10    -10  <= ilokovat(x2) <= 10    -10  <= ilokovat(x3) <= 10    -0.3 <= seřadit(u)   <= 1};% Mezních omezenícbnd = počáteční({x1 == 0; x2 == 1; x3 == 0});% ODR a omezení cestyceq = seřadit({tečka(x1) == (1-x2.^2).*x1-x2+u    tečka(x2) == x1; tečka(x3) == x1.^2+x2.^2+u.^2});% Cílobjektivní = finále(x3);% Vyřešit problémmožnosti = struktur;možnosti.název = 'Van Der Pol';řešení = ezsolve(objektivní, {cbox, cbnd, ceq}, x0, možnosti);

Příklad vícefázového optimálního řízení

Jednorozměrná raketa ^[4] s volným časem ukončení a neurčeným fázovým posunem

Minimalizovat:

${displaystyle {egin {matrix} J_ {x, t} & = & tCut end {matrix}}}$

Předmět:

${displaystyle {egin {cases} {frac {dx_ {1}} {dt}} = x_ {2} {frac {dx_ {2}} {dt}} = ag (0$

Problém je vyřešen pomocí PROPT vytvořením dvou fází a jejich spojením:

toms ttoms tCut tp2p1 = tomPhase('p1', t, 0, tCut, 20);p2 = tomPhase('p2', t, tCut, tp2, 20);tf = tCut+tp2;x1p1 = tomState(p1,'x1p1');x2p1 = tomState(p1,'x2p1');x1p2 = tomState(p2,'x1p2');x2p2 = tomState(p2,'x2p2');% Počáteční odhadx0 = {tCut==10    tf==15    ilokovat(p1,{x1p1 == 50*tCut/10;x2p1 == 0;})    ilokovat(p2,{x1p2 == 50+50*t/100;x2p2 == 0;})};Omezení% polecbox = {    1  <= tCut <= tf-0,00001    tf <= 100    0  <= icollocate (p1, x1p1)    0  <= icollocate (p1, x2p1)    0  <= icollocate (p2, x1p2)    0  <= icollocate (p2, x2p2)};% Mezních omezenícbnd = {počáteční(p1,{x1p1 == 0;x2p1 == 0;})    finále(p2,x1p2 == 100)};% ODR a omezení cestyA = 2; G = 1;ceq = {seřadit(p1,{    tečka(p1,x1p1) == x2p1    tečka(p1,x2p1) == A-G})    seřadit(p2,{    tečka(p2,x1p2) == x2p2    tečka(p2,x2p2) == -G})};% Cílobjektivní = tCut;% Fáze spojeníodkaz = {finále(p1,x1p1) == počáteční(p2,x1p2)    finále(p1,x2p1) == počáteční(p2,x2p2)};%% Vyřešit problémmožnosti = struktur;možnosti.název = 'One Dim Rocket';konstr = {cbox, cbnd, ceq, odkaz};řešení = ezsolve(objektivní, konstr, x0, možnosti);

Příklad odhadu parametrů

Problém s odhadem parametrů ^[5]

Minimalizovat:

${displaystyle {egin {matrix} J_ {p} & = & sum _ {i = 1,2,3,5} {(x_ {1} (t_ {i}) - x_ {1} ^ {m} (t_ { i})) ^ {2}} end {matrix}}}$

Předmět:

${displaystyle {egin {cases} {frac {dx_ {1}} {dt}} = x_ {2} {frac {dx_ {2}} {dt}} = 1-2 * x_ {2} -x_ {1 } x_ {0} = [p_ {1} p_ {2}] t_ {i} = [1 2 3 5] x_ {1} ^ {m} (t_ {i}) = [0,264 0,594 0,801 0,959 ] | p_ {1: 2} | <= 1,5 end {případů}}}$

V níže uvedeném kódu je problém vyřešen jemnou mřížkou (10 kolokačních bodů). Toto řešení je následně doladěno pomocí 40 kolokačních bodů:

toms t p1 p2x1meas = [0.264;0.594;0.801;0.959];tmeas  = [1;2;3;5];Omezení% polecbox = {-1.5 <= p1 <= 1.5    -1.5 <= p2 <= 1.5};%% Vyřešte problém pomocí postupně většího počtu kolokačních bodůpro n=[10 40]    p = tomPhase('p', t, 0, 6, n);    setPhase(p);    tomStates x1 x2    % Počáteční odhad    -li n == 10        x0 = {p1 == 0; p2 == 0};    jinýx0 = {p1 == p1opt; p2 == p2opt            ilokovat({x1 == x1opt; x2 == x2opt})};    konec% Mezních omezení    cbnd = počáteční({x1 == p1; x2 == p2});    % ODR a omezení cesty    x1err = součet((atPoints(tmeas,x1) - x1meas).^2);    ceq = seřadit({tečka(x1) == x2; tečka(x2) == 1-2*x2-x1});    % Cíl    objektivní = x1err;    %% Vyřešit problém    možnosti = struktur;    možnosti.název   = 'Odhad parametrů';    možnosti.řešitel = 'snopt';    řešení = ezsolve(objektivní, {cbox, cbnd, ceq}, x0, možnosti);    % Optimální x, p pro počáteční bod    x1opt = titulky(x1, řešení);    x2opt = titulky(x2, řešení);    p1opt = titulky(p1, řešení);    p2opt = titulky(p2, řešení);konec

Podporovány problémy s optimální kontrolou

• Řízení aerodynamické dráhy^[6]
• Ovládání třesku^[7]
• Chemické inženýrství^[8]
• Dynamické systémy^[9]
• Obecná optimální kontrola
• Velkoplošné lineární ovládání^[10]
• Vícefázové ovládání systému^[11]
• Strojírenství design^[12]
• Nediferencovatelné ovládání^[13]
• Odhad parametrů pro dynamické systémy^[14]
• Singulární ovládání

Reference

externí odkazy

• TOMLAB - Vývojář a distributor softwaru.
• TomSym - Zdroj transformace motoru používaný v softwaru.
• PROPT - Domovská stránka PROPT.
• SNOPT - Výchozí řešič použitý v PROPT.