Optimalizace omezená na PDE - PDE-constrained optimization
Optimalizace omezená na PDE je podmnožinou matematická optimalizace kde alespoň jeden z omezení lze vyjádřit jako a parciální diferenciální rovnice.[1] Mezi typické domény, kde tyto problémy vznikají, patří aerodynamika, výpočetní dynamika tekutin, segmentace obrazu, a inverzní problémy.[2] Standardní formulace optimalizace omezené PDE, se kterou se setkáváme v řadě oborů, je dána:[3]
kde je kontrolní proměnná a je Euklidovská norma. Řešení uzavřené formy jsou obecně nedostupná pro optimalizační problémy omezené PDE, což vyžaduje vývoj numerické metody.[4][5][6]
Aplikace
- Aerodynamická optimalizace tvaru[7][8]
- Dodávka léku[9][10]
- Matematické finance[11]
Optimální kontrola bakteriálního chemotaxního systému
Následující příklad pochází od str. 20–21 z Pearsona.[3] Chemotaxe je pohyb organismu v reakci na vnější chemický podnět. Jedním problémem zvláštního zájmu je řízení prostorové dynamiky bakterií, které jsou vystaveny chemotaxi, aby bylo dosaženo požadovaného výsledku. Pro hustotu buněk a hustota koncentrace a chemoatraktant, je možné formulovat problém s hraniční kontrolou:
kde je ideální hustota buněk, je ideální hustota koncentrace a je kontrolní proměnná. Tato objektivní funkce podléhá dynamice:
![{ displaystyle min _ {z, c, u} ; {1 nad {2}} int _ { Omega} left [z (T, { bf {x}}) - { widehat { z}} vpravo] ^ {2} + { gamma _ {c} nad {2}} int _ { Omega} vlevo [c (T, { bf {x}}) - { widehat {c}} vpravo] ^ {2} + { gamma _ {u} nad {2}} int _ {0} ^ {T} int _ { částečné Omega} u ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30354cdd0d41e7131e3ff529f0e8d16c85a1f7df)
kde je Operátor Laplace.
![{ displaystyle { begin {zarovnáno} { částečné z nad { částečné t}} - D_ {z} Delta z- alpha nabla cdot left [{ nabla c over {(1 + c ) ^ {2}}} z vpravo] & = 0 quad { text {in}} quad Omega { parciální c nad { parciální t}} - Delta c + rho cw {z ^ {2} přes {1 + z ^ {2}}} & = 0 quad { text {in}} quad Omega { částečné z přes { částečné n}} & = 0 quad { text {on}} quad částečné Omega { částečné c přes { částečné n}} + zeta (cu) & = 0 quad { text {on}} quad částečné Omega end {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44ec5c116442e5d69a80f4a6b2a9b6af71c44215)
Viz také
Reference
- ^ Leugering, Günter; Benner, Peter; Engell, Sebastian; Griewank, Andreas; Harbrecht, Helmut; Hinze, Michael; Rannacher, Rolf; Ulbrich, Stefan, vyd. (2014). "Trendy v omezené optimalizaci PDE". Mezinárodní řada numerické matematiky. Springer. 165. doi:10.1007/978-3-319-05083-6. ISBN 978-3-319-05082-9. ISSN 0373-3149.
- ^ Lorenz T. Biegler; Omar Ghattas; Matthias Heinkenschloss; David Keyes; Bart van Bloemen Waanders, eds. (01.01.2007). Real-Time PDE-Constrained Optimization. Výpočetní věda a inženýrství. Společnost pro průmyslovou a aplikovanou matematiku. doi:10.1137/1.9780898718935. ISBN 978-0-89871-621-4.
- ^ A b Pearson, John (16. května 2018). „Optimalizace omezená na PDE ve fyzice, chemii a biologii: modelování a numerické metody“ (PDF). University of Edinburgh.
- ^ Biros, George; Ghattas, Omar (01.01.2005). „Parallel Lagrange - Newton - Krylov - Schur Methods for PDE-Constrained Optimization. Part I: The Krylov - Schur Solver“. SIAM Journal on Scientific Computing. 27 (2): 687–713. doi:10.1137 / S106482750241565X. ISSN 1064-8275.
- ^ Antil, Harbir; Heinkenschloss, Matthias; Hoppe, Ronald H. W .; Sorensen, Danny C. (2010-08-01). „Dekompozice domény a redukce modelu pro numerické řešení omezených optimalizačních problémů PDE s lokalizovanými optimalizačními proměnnými“. Výpočetní technika a vizualizace ve vědě. 13 (6): 249–264. doi:10.1007 / s00791-010-0142-4. ISSN 1433-0369. S2CID 9412768.
- ^ Schöberl, Joachim; Zulehner, Walter (01.01.2007). "Symetrické neurčité předpoklady pro problémy sedlového bodu s aplikacemi na problémy optimalizace omezené na PDE". SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. 29 (3): 752–773. doi:10.1137/060660977. ISSN 0895-4798.
- ^ Jameson, Antony (2003). „Optimalizace aerodynamického tvaru pomocí adjunktové metody“ (PDF). Stanfordská Univerzita.
- ^ Hazra, S. B .; Schulz, V .; Brezillon, J .; Gauger, N. R. (2005-03-20). „Aerodynamická optimalizace tvaru pomocí simultánního pseudo-časového kroku“. Journal of Computational Physics. 204 (1): 46–64. doi:10.1016 / j.jcp.2004.10.007. ISSN 0021-9991.
- ^ Somayaji, Mahadevabharath R .; Xenos, Michalis; Zhang, Libin; Mekarski, Megan; Linninger, Andreas A. (01.01.2008). „Systematický design terapií při podávání léků“. Počítače a chemické inženýrství. Procesní systémové inženýrství: Příspěvky k nejmodernějším technologiím. 32 (1): 89–98. doi:10.1016 / j.compchemeng.2007.06.014. ISSN 0098-1354.
- ^ Antil, Harbir; Nochetto, Ricardo H .; Venegas, Pablo (2017-10-19). "Optimalizace Kelvinovy síly v pohybující se cílové subdoméně". Matematické modely a metody v aplikovaných vědách. 28 (1): 95–130. arXiv:1612.07763. doi:10.1142 / S0218202518500033. ISSN 0218-2025. S2CID 119604277.
- ^ Egger, Herbert; Engl, Heinz W. (2005). „Tichonovova regularizace aplikovaná na inverzní problém cen opcí: konvergenční analýza a sazby“. Inverzní problémy. 21 (3): 1027–1045. doi:10.1088/0266-5611/21/3/014.
Další čtení
- Antil, Harbir; Kouri, Drew. P; Lacasse, Martin-D .; Ridzal, Denis (2018). Frontiers in PDE-Constrained Optimization. Svazky IMA v matematice a její aplikace, Springer. ISBN 978-1493986354.
- Tröltzsch, Fredi (2010). Optimální řízení parciálních diferenciálních rovnic: teorie, metody a aplikace. Postgraduální studium matematiky, Americká matematická společnost. ISBN 978-0-8218-4904-0.