Síťový počet - Network calculus

Síťový počet je „sada matematických výsledků, které poskytují vhled do umělých systémů, jako jsou souběžné programy, digitální obvody a komunikační sítě."^[1] Síťový počet poskytuje teoretický rámec pro analýzu záruk výkonu v systému Windows počítačové sítě. Jelikož provoz prochází sítí, je předmětem omezení uložené komponenty systému, například:

odkaz kapacita
dopravní formovače (děravé kbelíky )
kontrola přetížení
provoz na pozadí

Tato omezení lze vyjádřit a analyzovat metodami síťového počtu. Omezovací křivky mohou být kombinovaný použitím konvoluce pod min-plus algebra. Síťový počet lze také použít k vyjádření funkcí příjezdu a odjezdu provozu a také křivek služeb.

Kalkul používá „alternativní algebry ... k transformaci složitých nelineárních síťových systémů na analyticky použitelné lineární systémy.“^[2]

V současné době existují dvě větve v síťovém počtu: jedna manipulace s deterministickými hranicemi a jedna manipulace se stochastickými hranicemi.^[3]

Modelování systému

Tok modelování a server

V síťovém počtu je tok modelován jako kumulativní funkce $A$ , kde $Na)$ představuje množství dat (například počet bitů) odeslaných tokem v intervalu $[0, t)$ . Takové funkce jsou nezáporné a neklesající. Časovou doménou je často soubor nezáporných reálných hodnot.

Příchozí a odchozí křivka při příchodu a odchodu serveru.

${ displaystyle A: mathbb {R} ^ {+} rightarrow mathbb {R} ^ {+}}$

${ displaystyle forall u, t in mathbb {R} ^ {+}: u$

Serverem může být odkaz, plánovač, provozovatel provozu nebo celá síť. Je jednoduše modelován jako vztah mezi nějakou kumulativní křivkou příchodu $A$ a nějaká odchozí kumulativní křivka $D$ . Je to nutné $A \geq D$ , modelovat skutečnost, že k odchodu některých dat nemůže dojít před jejich příchodem.

Nevyřízené položky a zpoždění modelování

Vzhledem k určité křivce příjezdu a odjezdu $A$ a $D$ , nevyřízené položky kdykoli $t$ , označeno $b (A, D, t)$ lze definovat jako rozdíl mezi $A$ a $D$ . Zpoždění v $t$ , $d (A, D, t)$ je definována jako minimální doba taková, aby funkce odletu dosáhla funkce příjezdu. Když vezmeme v úvahu celé toky, supremum těchto hodnot je použito.

Horizontální a vertikální odchylka mezi kumulativními křivkami příletu a odletu

${ displaystyle b (A, D, t): = A (t) -D (t)}$

${ displaystyle d (A, D, t): = inf left {d in mathbb {R} ^ {+} ~ st ~ D (t + d) geq A (t) right } }$

${ displaystyle b (A, D): = sup _ {t geq 0} vlevo {A (t) -D (t) vpravo }}$

${ displaystyle d (A, D): = sup _ {t geq 0} left { inf left {d in mathbb {R} ^ {+} ~ st ~ D (t + d ) geq A (t) doprava } doprava }}$

Obecně platí, že toky nejsou přesně známy a jsou známa pouze některá omezení toků a serverů (jako je maximální počet paketů odeslaných v určitém období, maximální velikost paketů, minimální šířka pásma spojení). Cílem síťového počtu je na základě těchto omezení vypočítat horní hranice zpoždění a nevyřízených položek. K tomu používá síťový počet algebru min-plus.

Min-plus algebra

V teorii filtrů a teorii lineárních systémů konvoluce dvou funkcí ${ displaystyle f}$ a ${ displaystyle g}$ je definován jako

${ displaystyle (f ast g) (t): = int _ {0} ^ {t} f ( tau) cdot g (t- tau) d tau}$

v min-plus algebra the součet se nahrazuje minimem infimum provozovatel a produkt se nahrazuje součet. Takže min-plus konvoluce dvou funkcí ${ displaystyle f}$ a ${ displaystyle g}$ se stává

${ Displaystyle (f otimes g) (t): = inf _ {0 leq tau leq t} doleva {{f ( tau) + g (t- tau) doprava }}$

např. viz definice servisních křivek. Konvoluce a konvoluce min-plus sdílejí mnoho algebraických vlastností. Zejména jsou komutativní a asociativní.

Tzv. Min-plus dekonvoluční operace je definována jako

${ displaystyle (f oslash g) (t): = sup _ { tau geq 0} vlevo {f (t + tau) -g ( tau) vpravo }}$

např. jak se používá v definici dopravních obálek.

Vertikální a horizontální odchylky lze vyjádřit pomocí min-plus operátorů.

${ displaystyle b (f, g) = (f oslash g) (0)}$

${ displaystyle d (f, g) = inf {w: (f oslash g) (- w) leq 0 }}$

Dopravní obálky

Kumulativní křivky jsou skutečné chování, v době návrhu neznámé. Je známo určité omezení. Síťový kalkul používá pojem dopravní obálky, také známý jako příchozí křivky.

Kumulativní funkce $A$ se říká, že odpovídá obálce (nebo příchozí křivce) $E$ , pokud pro všechny $t$ to platí

${ displaystyle E (t) geq sup _ { tau geq 0} {A (t + tau) -A ( tau) } = (A oslash A) (t).}$

Lze uvést dvě rovnocenné definice

${ displaystyle forall tau, t in mathbb {R} ^ {+}: A ( tau + t) -A ( tau) leq E (t)}$

(1)

${ displaystyle A leq A otimes E}$

(2)

Tím pádem, $E$ umístí horní omezení toku $A$ . Taková funkce $E$ lze považovat za obálku, která určuje horní mez počtu bitů toku viděných v libovolném intervalu délky $t$ počínaje libovolným $τ$ srov. ekv. (1).

Servisní křivky

Abychom poskytli výkonnostní záruky tokům provozu, je nutné určit určitý minimální výkon serveru (v závislosti na rezervacích v síti, nebo plánovací politice atd.). Křivky služeb poskytují prostředek k vyjádření dostupnosti prostředků. Existuje několik druhů křivek služeb, například slabě přísný uzel s proměnnou kapacitou atd. Viz ^[4] ^[5]pro přehled.

Minimální služby

Nechat $A$ být tokem příchodu, který se blíží k vniknutí serveru, a $D$ být tokem odcházejícím na výstupu. Systém údajně poskytuje a jednoduchá minimální servisní křivka $S$ k páru $(A, B)$ , pokud pro všechny $t$ to platí ${ displaystyle D (t) geq (A otimes S) (t).}$

Přísná minimální služba

Nechat $A$ být tokem příchodu, který se blíží k vniknutí serveru, a $D$ být tokem odcházejícím na výstupu. A nevyřízené období je interval $Já$ takové, že na jakémkoli $t \in já$ , $A (t)> D (t)$ .

Systém údajně poskytuje a přísná minimální křivka služby $S$ k páru $(A, B)$ iff, ${ displaystyle forall s, t in mathbb {R} ^ {+}}$ , takový, že ${ displaystyle s leq t}$ , pokud ${ displaystyle (s, t]}$ je tedy nevyřízené období ${ displaystyle D (t) -D (s) geq S (t-s)}$ .

Pokud server nabízí přísnou minimální službu křivky $S$ , nabízí také jednoduchou minimální službu křivky $S$ .

Základní výsledky: Hranice výkonu a šíření obálky

Z dopravní obálky a křivek služby lze vypočítat některé hranice zpoždění a nevyřízených položek a obálku toku odjezdu.

Nechat $A$ být tokem příchodu, který se blíží k vniknutí serveru, a $D$ být tokem odcházejícím na výstupu. Pokud je tok jako dopravní obálka $E$ a server poskytuje minimální službu křivky $S$ , pak mohou být nevyřízené položky a zpoždění omezeny:

${ Displaystyle b (A, D) leq b (E, S)}$

${ displaystyle d (A, D) leq d (E, S)}$

Křivka odjezdu má navíc obálku ${ displaystyle E '= E oslash S}$ .

Navíc tyto hranice jsou těsný tj. některé $E$ , a $S$ , lze vybudovat příjezd a odjezd tak, že $špatný)$ = $b (E, S)$ a $v (A, D)$ = $v (E, S)$ .

Zřetězení / PBOO

Zvažte posloupnost dvou serverů, když výstupem prvního je vstup druhého. Tuto sekvenci lze považovat za nový server vytvořený jako zřetězení dvou dalších.

Pak, pokud první (resp. Druhý) server nabízí jednoduchou minimální službu ${ displaystyle S_ {1}}$ (resp. ${ displaystyle S_ {2}}$ ), pak zřetězení obou nabízí jednoduchou minimální službu ${ displaystyle S_ {e2e} = S_ {1} mnohokrát S_ {2}}$ .

Pořadí dvou serverů

Důkaz iterativně aplikuje definici křivek služby ${ displaystyle X geq A otimes S_ {1}}$ , ${ displaystyle D geq X otimes S_ {2}}$ a některé vlastnosti konvoluce, izotonicity ( ${ displaystyle D geq (X otimes S_ {2}) otimes S_ {1}}$ ) a asociativita ( ${ displaystyle D geq X otimes (S_ {2} otimes S_ {1})}$ ).

Zájem o tento výsledek je, že mezní hodnota zpoždění mezi koncovými body není větší než součet místních zpoždění: ${ displaystyle d (E, S_ {2} čast S_ {1}) leq d (E, S_ {1}) + d (E oslash S_ {1}, S_ {2})}$ .

Tento výsledek je znám jako Zaplaťte pouze jednou (PBOO).

Nástroje

Existuje několik nástrojů založených na síťovém počtu.

The DiscoDNC je akademická implementace Java rámce síťového počtu.^[6]
The Sada nástrojů RTC je akademická Java /MATLAB implementace rámce počtu v reálném čase, teorie kvazi ekvivalentní síťovému počtu.^[4]
The CyNC^[7] nástroj je akademický MATLAB / Symulink Toolbox, založený na Sada nástrojů RTC. Tento nástroj byl vyvinut v letech 2004-2008 a v současné době se používá pro výuku na Aalborská univerzita.
The RTaW-PEGASE je průmyslový nástroj věnovaný nástroji pro analýzu časování přepínané ethernetové sítě (AFDX, průmyslový a automobilový Ethernet), založený na síťovém počtu.^[8]
The Tlumočník síťového počtu je online (min, +) tlumočník.
The WOPANet je akademický nástroj kombinující analýzu založenou na síťovém počtu a analýzu optimalizace.^[9]
DelayLyzer je průmyslový nástroj určený k výpočtu hranic sítí Profinet.^[10]
DEBORAH je akademický nástroj věnovaný sítím FIFO.^[11]
NetCalBounds je akademický nástroj věnovaný slepým a FIFO tandemovým sítím.^[12]^[13]
NCBounds je síťový kalkul v Pythonu, publikovaný pod BSD 3-Clause License. Zvažuje servery s latencí rychlosti a příchozí křivky token-bucket. Zvládá jakoukoli topologii, včetně cyklických^[14].
Síťový plánovač Siemens (SINETPLAN ) používá síťový počet (mimo jiné metody) jako pomůcku při návrhu a PROFINET síť.^[15]

Reference

^ Le Boudec, Jean-Yves; Thiran, Patrick (2001). Goos, Gerhard; Hartmanis, Juris; van Leeuwen, Jan (eds.). Network Calculus: The Theory of Deterministic Queuing Systems for the Internet. Přednášky z informatiky. 2050. doi:10.1007/3-540-45318-0. ISBN 978-3-540-42184-9.
^ Jiang, Yuming; Liu, Yong (2009). Stochastický síťový počet. Bibcode:2009snc..book ..... L. CiteSeerX 10.1.1.725.5561. doi:10.1007/978-1-84800-127-5. ISBN 978-1-84800-126-8.
^ Fidler, M. (2010). "Průzkum modelů deterministické a stochastické křivky služby v síťovém počtu". Průzkumy a návody pro komunikaci IEEE. 12: 59–86. doi:10.1109 / SURV.2010.020110.00019.
^ ^A ^b Bouillard, Anne; Jouhet, Laurent; Thierry, Eric (2009). Servisní křivky v Network Calculus: úkoly a nedělat (Technická zpráva). INRIA. RR-7094.
^ Bouillard, Anne; Jouhet, Laurent; Thierry, Éric. Porovnání různých tříd křivek služeb v síťovém počtu s (PDF). 10. mezinárodní seminář o systémech diskrétních událostí (WODES 2010). Technische Universität Berlin.
^ Bondorf, Steffen; Schmitt, Jens B. (2014). DiscoDNC v2 - komplexní nástroj pro deterministický výpočet sítě (PDF). 8. mezinárodní konference o metodikách a nástrojích hodnocení výkonu (VALUETOOLS 2014).
^ Schioler, Henrik; Schwefel, Hans P .; Hansen, Martin B. (2007). CyNC: Sada nástrojů MATLAB / SimuLink pro výpočet sítě. 2. mezinárodní konference o metodikách a nástrojích hodnocení výkonu (ValueTools '07).
^ Boyer, Marc; Migge, Jörn; Fumey, Marc (2011). PEGASE, robustní a efektivní nástroj pro nejhorší dobu procházení sítí (PDF). SAE 2011 AeroTech Congress & Exhibition.
^ Mifdaoui, Ahlem; Ayed, H. (2010). WOPANets: Nástroj pro první analýzu výkonu vložených sítí. 15. mezinárodní seminář IEEE o modelování, analýze a návrhu komunikačních spojů a sítí podporovaných počítačem (CAMAD). doi:10.1109 / CAMAD.2010.5686958.
^ Schmidt, Mark; Veith, Sebastian; Menth, Michael; Kehrer, Stephan (2014). DelayLyzer: Nástroj pro analýzu hranic zpoždění v průmyslových ethernetových sítích. 17. Int. Konflikt GI / ITG o měření, modelování a hodnocení počítačových systémů a spolehlivosti a odolnosti proti chybám (MMB & DFT 2014). doi:10.1007/978-3-319-05359-2_19.
^ Bisti, Luca; Lenzini, Luciano; Mingozzi, Enzo; Stea, Giovanni (2012). DEBORAH: Nástroj pro nejhorší analýzu tandemů FIFO. Mezinárodní sympozium o využívání aplikací formálních metod, ověřování a validace. doi:10.1007/978-3-642-16558-0_15.
^ Bouillard, Anne; Stea, Giovanni (říjen 2015). „Přesné nejhorší zpoždění v sítích zpětného přenosu FIFO-multiplexování“. Transakce IEEE / ACM v síti. 23 (5): 1387–1400. doi:10.1109 / TNET.2014.2332071. hdl:11568/501671.
^ Bouillard, Anne; Éric, Thierry (září 2016). „Těsné hranice výkonu v nejhorším případě analýzy sítí předávání dat“ (PDF). Dynamické systémy diskrétních událostí. 26 (3): 383–411. doi:10.1007 / s10626-015-0213-2.
^ Bouillard, Anne (2019). Stabilita a hranice výkonu v cyklických sítích pomocí síťového počtu. 17. mezinárodní konference o formálním modelování a analýze časovaných systémů.
^ Kerschbaum, Sven; Hielscher, Kai-Steffen; Němec, Reinhard (2016). Potřeba tvarování nekritických dat v sítích PROFINET. 14. mezinárodní konference IEEE o průmyslové informatice (INDIN). doi:10.1109 / INDIN.2016.7819151.

Knihy, průzkumy a výukové programy o síťovém počtu

C.-S. Chang: Záruky výkonu v komunikačních sítíchSpringer, 2000.
J.-Y. Le Boudec a P. Thiran: Network Calculus: The Theory of Deterministic Queuing Systems for the Internet Springer, LNCS, 2001.
A. Bouillard, M. Boyer, E. Le Corronc: Deterministický síťový počet: Od teorie po praktickou implementaci, Wiley-ISTE, 2018
Y. Jiang a Y. Liu: Stochastický síťový početSpringer, 2008.
A. Kumar, D. Manjunath a J. Kuri: Komunikační sítě: Analytický přístup, Elsevier, 2004.
S. Mao a S. Panwar: Průzkum obálkových procesů a jejich aplikací v zajišťování kvality služeb, IEEE Communications Surveys and Tutorials, 8 (3): 2-20, červenec 2006.
M. Fidler: Přehled modelů deterministických a stochastických křivek služeb v síťovém počtu, IEEE Communications Surveys and Tutorials, 12 (1): 59-86, leden 2010.
C. Lin, Y. Deng a Y. Jiang: O aplikaci stochastického síťového počtu, Frontiers Computer Science, 7 (6): 924-942, 2013
M. Fidler a A. Rizk: Průvodce po stochastickém síťovém počtu, IEEE Communications Surveys and Tutorials, 17 (1): 92-105, březen 2015.

Související knihy o algebře max-plus nebo o konvexní minimalizace

R. T. Rockafellar: Konvexní analýza, Princeton University Press, 1972.
F. Baccelli, G. Cohen, G. J. Olsder a J.-P. Kvadrat: Synchronizace a linearita: Algebra pro systémy diskrétních událostí, Wiley, 1992.
V. N. Kolokol'tsov, Victor P. Maslov: Idempotentní analýza a její aplikace, Springer, 1997. ISBN 0792345096.

Deterministický síťový počet

R. L. Cruz: Kalkul pro zpoždění sítě. Část I: Síťové prvky v izolaci a Část II: Síťová analýza, IEEE Transactions on Information Theory, 37 (1): 114-141, leden 1991.
A. K. Parekh a R. G. Gallager: Přístup ke sdílení toku zobecněného procesoru: Případ více uzlů, IEEE Transactions on Networking, 2 (2): 137-150, duben 1994.
C.-S. Chang: Stabilita, délka fronty a zpoždění sítí deterministických a stochastických front, IEEE Transactions on Automatic Control, 39 (5): 913-931, květen 1994.
D. E. Wrege, E. W. Knightly, H. Zhang a J. Liebeherr: Deterministické hranice zpoždění pro video VBR v sítích pro přepínání paketů: Základní limity a praktické kompromisy, IEEE / ACM Transactions on Networking, 4 (3): 352-362, červen 1996.
R. L. Cruz: SCED +: Efektivní správa záruk kvality služeb, IEEE INFOCOM, s. 625–634, březen 1998.
J.-Y. Le Boudec: Aplikace síťového počtu na sítě zaručené služby, IEEE Transactions on Information Theory, 44 (3): 1087-1096, květen 1998.
C.-S. Chang: O deterministické regulaci provozu a zárukách na služby: Systematický přístup filtrováním, IEEE Transactions on Information Theory, 44 (3): 1097-1110, květen 1998.
R. Agrawal, R. L. Cruz, C. Okino a R. Rajan: Meze výkonu pro protokoly řízení toku, IEEE / ACM Transactions on Networking, 7 (3): 310-323, červen 1999.
J.-Y. Le Boudec: Některé vlastnosti tvarovačů paketů s proměnnou délkou, IEEE / ACM Transactions on Networking, 10 (3): 329-337, červen 2002.
C.-S. Chang, R. L. Cruz, J.-Y. Le Boudec a P. Thiran: Min., + Teorie systému pro omezenou regulaci provozu a záruky dynamických služeb, IEEE / ACM Transactions on Networking, 10 (6): 805-817, prosinec 2002.
Y. Jiang: Vztah mezi serverem s garantovanou rychlostí a serverem s latencí, Computer Networks 43 (3): 307-315, 2003.
M. Fidler a S. Recker: Konjugovaný počet sítí: Duální přístup využívající transformaci Legendre, Computer Networks, 50 (8): 1026-1039, červen 2006.
Eitan Altman, Kostya Avrachenkov a Chadi Barakat: TCP network calculus: The case of large bandwidth-delay product„Ve sborníku IEEE INFOCOM, NY, červen 2002.
J. Liebeherr: Dualita síťového počtu Max-Plus a Min-Plus, Foundations and Trends in Networking 11 (3-4): 139-282, 2017.

Topologie sítě, předávací sítě

A. Charny a J.-Y. Le Boudec: Zpoždění hranic v síti s agregovaným plánováním, QoFIS, s. 1–13, září 2000.
D. Starobinski, M. Karpovsky a L. Zakrevski: Aplikace síťového počtu na obecné topologie pomocí Turn-prohibice, IEEE / ACM Transactions on Networking, 11 (3): 411-421, červen 2003.
M. Fidler: Řízení přístupu založené na parametrech pro sítě diferencovaných služeb, Computer Networks, 44 (4): 463-479, březen 2004.
L. Lenzini, L. Martorini, E. Mingozzi a G. Stea: Úzké meze zpoždění mezi proudy v toku v sítích FIFO pro multiplexování jímek, Performance Evaluation, 63 (9-10): 956-987, říjen 2006.
J. Schmitt, F. Zdarsky a M. Fidler: Omezení zpoždění při libovolném multiplexování: když vás síťový kalkul nechá na holičkách ..., Prof. IEEE Infocom, duben 2008.
A. Bouillard, L. Jouhet a E. Thierry: Naprosté hranice výkonu v analýze nejhorších případů sítí předávání zpráv, Proc. IEEE Infocom, duben 2010.

Identifikace systému na základě měření

C. Cetinkaya, V. Kanodia a E.W. Knightly: Škálovatelné služby prostřednictvím kontroly vstupu na výstup, IEEE Transactions on Multimedia, 3 (1): 69-81, březen 2001.
S. Valaee a B. Li: Distribuované řízení příjmu hovorů pro sítě ad hoc, Proc. IEEE VTC, s. 1244–1248, 2002.
A. Undheim, Y. Jiang a P. J. Emstad. Síťový přístup k modelování routeru s externími měřeními, Proc. druhé mezinárodní konference IEEE o komunikacích a sítích v Číně (Chinacom), srpen 2007.
J. Liebeherr, M. Fidler a S. Valaee: Systémově-teoretický přístup k odhadu šířky pásma, IEEE Transactions on Networking, 18 (4): 1040-1053, srpen 2010.
M. Bredel, Z. Bozakov a Y. Jiang: Analýza výkonu routeru pomocí síťového počtu s externími měřeními, Proc. IEEE IWQoS, červen 2010.
R. Lubben, M. Fidler a J. Liebeherr: Stochastický odhad šířky pásma v sítích s náhodnou službou, IEEE Transactions on Networking, 22 (2): 484-497, duben 2014.

Stochastický síťový počet

O. Yaron a M. Sidi: Výkon a stabilita komunikačních sítí prostřednictvím robustních exponenciálních hranic, IEEE / ACM Transactions on Networking, 1 (3): 372-385, červen 1993.
D. Starobinski a M. Sidi: Stochasticky ohraničená burstiness pro komunikační sítě, IEEE Transactions on Information Theory, 46 (1): 206-212, leden 2000.
C.-S. Chang: Stabilita, délka fronty a zpoždění sítí deterministických a stochastických front, IEEE Transactions on Automatic Control, 39 (5): 913-931, květen 1994.
R.-R. Boorstyn, A. Burchard, J. Liebeherr a C. Oottamakorn: Statistické servisní záruky pro algoritmy plánování provozu, IEEE Journal on Selected Areas in Communications, 18 (12): 2651-2664, prosinec 2000.
Q. Yin, Y. Jiang, S. Jiang a P. Y. Kong: Analýza zobecněného stochasticky ohraničeného nárazového provozu pro komunikační sítě, IEEE LCN, s. 141–149, listopad 2002.
C. Li, A. Burchard a J. Liebeherr: Síťový kalkul s efektivní šířkou pásma„University of Virginia, Technical Report CS-2003-20, Nov. 2003.
Y. Jiang: Základní stochastický síťový počet, ACM SIGCOMM 2006.
A. Burchard, J. Liebeherr a S. D. Patek: Min-Plus kalkul pro komplexní statistické záruky za služby, IEEE Transactions on Information Theory, 52 (9): 4105–4114, září 2006.
F. Ciucu, A. Burchard a J. Liebeherr: Přístup křivky síťové služby pro stochastickou analýzu sítí, IEEE / ACM Transactions on Networking, 52 (6): 2300–2312, červen 2006.
M. Fidler: End-to-End pravděpodobnostní síťový kalkul s funkcemi generujícími momenty, IEEE IWQoS, červen 2006.
Y. Liu, C.-K. Tham a Y. Jiang: Kalkul pro stochastickou analýzu QoS, Performance Evaluation, 64 (6): 547-572, 2007.
Y. Jiang a Y. Liu: Stochastický síťový početSpringer, 2008.

Počet bezdrátových sítí

M. Fidler: Síťový přístup k pravděpodobnostní analýze kvality služeb slábnoucích kanálů, Proc. IEEE Globecom, listopad 2006.
K. Mahmood, A. Rizk a Y. Jiang: Na zpoždění průtoku prostorového multiplexování MIMO bezdrátového kanálu, Proc. IEEE ICC, červen 2011.
K. Mahmood, M. Vehkaperä a Y. Jiang: Analýza zpožděného omezeného výkonu korelovaného bezdrátového kanálu MIMO, Proc. IEEE ICCCN, 2011.
K. Mahmood, M. Vehkaperä a Y. Jiang: Zpožděná omezená propustnost analýzy CDMA pomocí stochastického síťového počtu, Proc. IKONA IEEE, 2011.
K. Mahmood, M. Vehkaperä a Y. Jiang: Výkon víceuživatelských přijímačů CDMA s omezeným provozem a omezeními zpoždění, Proc. ICNC, 2012.
Y. Zhang a Y. Jiang: Výkon přenosu dat po Gaussově kanálu s disperzí, Proc. ISWCS, 2012.
H. Al-Zubaidy, J. Liebeherr a A. Burchard: (Min, ×) síťový počet pro multi-hop fading kanály, Proc. IEEE Infocom, str. 1833–1841, duben 2013.
K. Zheng, F. Liu, L. Lei, C. Lin a Y. Jiang: Stochastická analýza výkonu bezdrátového Markovova kanálu s konečným stavem, IEEE Trans. Wireless Communications 12 (2): 782-793, 2013.
J.-w. Cho a Y. Jiang: Základy procesu zpětného chodu v 802.11: Dichotomie agregace, IEEE Trans. Informační teorie 61 (4): 1687-1701, 2015.
M. Fidler, R. Lubben a N. Becker: Kapacita – zpoždění – hranice chyby: skladatelný model zdrojů a systémů „Transaction on Wireless Communications, 14 (3): 1280-1294, březen 2015.
F. Sun a Y. Jiang: Statistická vlastnost kapacity bezdrátového kanálu: teorie a aplikace, Proc. Výkon IFIP, 2017.

[leboudec-1] Le Boudec, Jean-Yves; Thiran, Patrick (2001). Goos, Gerhard; Hartmanis, Juris; van Leeuwen, Jan (eds.). Network Calculus: The Theory of Deterministic Queuing Systems for the Internet. Přednášky z informatiky. 2050. doi:10.1007/3-540-45318-0. ISBN 978-3-540-42184-9.

[2] Jiang, Yuming; Liu, Yong (2009). Stochastický síťový počet. Bibcode:2009snc..book ..... L. CiteSeerX 10.1.1.725.5561. doi:10.1007/978-1-84800-127-5. ISBN 978-1-84800-126-8.

[FidlerSurvey-3] Fidler, M. (2010). "Průzkum modelů deterministické a stochastické křivky služby v síťovém počtu". Průzkumy a návody pro komunikaci IEEE. 12: 59–86. doi:10.1109 / SURV.2010.020110.00019.

[SC-TR-4] A ^b Bouillard, Anne; Jouhet, Laurent; Thierry, Eric (2009). Servisní křivky v Network Calculus: úkoly a nedělat (Technická zpráva). INRIA. RR-7094.

[SC-WODES-5] Bouillard, Anne; Jouhet, Laurent; Thierry, Éric. Porovnání různých tříd křivek služeb v síťovém počtu s (PDF). 10. mezinárodní seminář o systémech diskrétních událostí (WODES 2010). Technische Universität Berlin.

[6] Bondorf, Steffen; Schmitt, Jens B. (2014). DiscoDNC v2 - komplexní nástroj pro deterministický výpočet sítě (PDF). 8. mezinárodní konference o metodikách a nástrojích hodnocení výkonu (VALUETOOLS 2014).

[7] Schioler, Henrik; Schwefel, Hans P .; Hansen, Martin B. (2007). CyNC: Sada nástrojů MATLAB / SimuLink pro výpočet sítě. 2. mezinárodní konference o metodikách a nástrojích hodnocení výkonu (ValueTools '07).

[8] Boyer, Marc; Migge, Jörn; Fumey, Marc (2011). PEGASE, robustní a efektivní nástroj pro nejhorší dobu procházení sítí (PDF). SAE 2011 AeroTech Congress & Exhibition.

[9] Mifdaoui, Ahlem; Ayed, H. (2010). WOPANets: Nástroj pro první analýzu výkonu vložených sítí. 15. mezinárodní seminář IEEE o modelování, analýze a návrhu komunikačních spojů a sítí podporovaných počítačem (CAMAD). doi:10.1109 / CAMAD.2010.5686958.

[10] Schmidt, Mark; Veith, Sebastian; Menth, Michael; Kehrer, Stephan (2014). DelayLyzer: Nástroj pro analýzu hranic zpoždění v průmyslových ethernetových sítích. 17. Int. Konflikt GI / ITG o měření, modelování a hodnocení počítačových systémů a spolehlivosti a odolnosti proti chybám (MMB & DFT 2014). doi:10.1007/978-3-319-05359-2_19.

[11] Bisti, Luca; Lenzini, Luciano; Mingozzi, Enzo; Stea, Giovanni (2012). DEBORAH: Nástroj pro nejhorší analýzu tandemů FIFO. Mezinárodní sympozium o využívání aplikací formálních metod, ověřování a validace. doi:10.1007/978-3-642-16558-0_15.

[12] Bouillard, Anne; Stea, Giovanni (říjen 2015). „Přesné nejhorší zpoždění v sítích zpětného přenosu FIFO-multiplexování“. Transakce IEEE / ACM v síti. 23 (5): 1387–1400. doi:10.1109 / TNET.2014.2332071. hdl:11568/501671.

[13] Bouillard, Anne; Éric, Thierry (září 2016). „Těsné hranice výkonu v nejhorším případě analýzy sítí předávání dat“ (PDF). Dynamické systémy diskrétních událostí. 26 (3): 383–411. doi:10.1007 / s10626-015-0213-2.

[14] Bouillard, Anne (2019). Stabilita a hranice výkonu v cyklických sítích pomocí síťového počtu. 17. mezinárodní konference o formálním modelování a analýze časovaných systémů.

[15] Kerschbaum, Sven; Hielscher, Kai-Steffen; Němec, Reinhard (2016). Potřeba tvarování nekritických dat v sítích PROFINET. 14. mezinárodní konference IEEE o průmyslové informatice (INDIN). doi:10.1109 / INDIN.2016.7819151.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]