Vládne Murnaghan – Nakayama - Murnaghan–Nakayama rule

v teorie skupin, obor matematiky, Vládne Murnaghan – Nakayama je kombinační metoda výpočtu neredukovatelný charakter hodnoty a symetrická skupina.^[1]Existuje několik zevšeobecnění tohoto pravidla nad rámec teorie reprezentace symetrických skupin, ale nejsou zde zahrnuty.

Neredukovatelné znaky skupiny zajímají matematiky, protože stručně shrnují důležité informace o skupině, jako jsou rozměry vektorových prostorů, ve kterých mohou být prvky skupiny reprezentovány lineárními transformacemi, které „promíchají“ všechny dimenze. Pro mnoho skupin je výpočet neredukovatelných hodnot znaků velmi obtížný; existence jednoduchých vzorců je spíše výjimkou než pravidlem.

Pravidlo Murnaghan – Nakayama je kombinatorické pravidlo pro výpočet hodnot znaku symetrické skupiny χ^λ
_ρ pomocí určitého druhu Mladé obrazy Tady jsou λ a ρ celočíselné oddíly nějakého celého čísla n, objednat uvažované symetrické skupiny. Oddíl λ určuje neredukovatelný znak, zatímco oddíl ρ určuje třída konjugace na jehož skupinových prvcích je znak vyhodnocen za účelem vytvoření hodnoty znaku. Oddíly jsou zobrazeny jako slabě klesá n-tice; například dva z oddílů 8 jsou (5,2,1) a (3,3,1,1).

Existují dvě verze pravidla Murnaghan-Nakayama, jedna nerekurzivní a jedna rekurzivní.

Nerekurzivní verze

Teorém:

{ displaystyle chi _ { rho} ^ { lambda} = součet _ {T v BST ( lambda, rho)} (- 1) ^ {ht (T)}}

kde součet převezme množinu BST (λ, ρ) všech hraniční pás tablo tvaru λ a typu ρ. To znamená, každé tablo T je tablo takové, že

the k-tá řada T má λ_k krabice
krabice T jsou vyplněna celými čísly s celým číslem i objevující se ρ_i krát
celá čísla v každém řádku a sloupci jsou slabě rostoucí
množina čtverců vyplněných celým číslem i tvoří a hraniční pás, tj. propojený zkosený tvar bez čtverce 2 × 2.

The výška, ht(T), je součet výšek hraničních pásů v T. Výška hraničního pruhu je o jeden menší než počet řádků, kterých se dotkne.

Z této věty vyplývá, že znakové hodnoty symetrické skupiny jsou celá čísla.

U některých kombinací λ a ρ neexistují žádná tabla s hraničními pruhy. V tomto případě nejsou v součtu žádné výrazy, a proto je hodnota znaku nulová.

Příklad

Zvažte výpočet jedné z hodnot znaků pro symetrickou skupinu řádu 8, když λ je oddíl (5,2,1) a ρ je oddíl (3,3,1,1). Tvarová přepážka λ určuje, že tablo musí mít tři řádky, přičemž první má 5 polí, druhý má 2 políčka a třetí má 1 rámeček. Typový oddíl ρ určuje, že tablo musí být vyplněno třemi 1, třemi 2, jedním 3 a jedním 4. Existuje šest takových tabel s hraničními pruhy:

Pokud tomu říkáme ${ displaystyle T_ {1}}$ , ${ displaystyle T_ {2}}$ , ${ displaystyle T_ {3}}$ , ${ displaystyle T_ {4}}$ , ${ displaystyle T_ {5}}$ , a ${ displaystyle T_ {6}}$ , pak jsou jejich výšky

${ displaystyle { begin {zarovnáno} ht (T_ {1}) = 0 + 1 + 0 + 0 = 1 ht (T_ {2}) = 1 + 0 + 0 + 0 = 1 ht (T_ {3}) = 1 + 0 + 0 + 0 = 1 ht (T_ {4}) = 2 + 0 + 0 + 0 = 2 ht (T_ {5}) = 2 + 0 + 0 + 0 = 2 ht (T_ {6}) = 2 + 1 + 0 + 0 = 3 end {zarovnáno}}}$

a hodnota znaku proto je

${ displaystyle chi _ {(3,3,1,1)} ^ {(5,2,1)} = (- 1) ^ {1} + (- 1) ^ {1} + (- 1) ^ {1} + (- 1) ^ {2} + (- 1) ^ {2} + (- 1) ^ {3} = - 1-1-1 + 1 + 1-1 = -2}$

Rekurzivní verze

Teorém:

{ displaystyle chi _ { rho} ^ { lambda} = součet _ { xi v BS ( lambda, rho _ {1})} (- 1) ^ {ht ( xi)} chi _ { rho zpětné lomítko rho _ {1}} ^ { lambda zpětné lomítko xi}}

kde součet je převzat z množiny BS (λ, ρ₁) hraničních proužků v Youngově diagramu tvaru λ, které mají ρ₁ polí a jejichž odstranění zanechává platný Youngův diagram. Zápis ${ displaystyle lambda zpětné lomítko xi}$ představuje oddíl, který je výsledkem odstranění hraničního pruhu ξ z λ. Zápis ${ displaystyle rho zpětné lomítko rho _ {1}}$ představuje oddíl, který je výsledkem odebrání prvního prvku ρ₁ od ρ.

Všimněte si, že pravá strana je součtem znaků pro symetrické skupiny, které mají menší řád než pořadí symetrické skupiny, se kterou jsme začali na levé straně. Jinými slovy, tato verze pravidla Murnaghan-Nakayama vyjadřuje charakter symetrické skupiny S._n pokud jde o znaky menších symetrických skupin S_k s k<n.

Použití tohoto pravidla rekurzivně bude mít za následek strom hodnocení hodnot znaků pro menší a menší oddíly. Každá větev se zastaví z jednoho ze dvou důvodů: Buď ve zmenšeném tvaru nejsou žádné hraniční proužky požadované délky, takže součet vpravo je nula, nebo je hraniční proužek, který zabírá celý redukovaný tvar, odstraněn a ponechává Youngův diagram s žádné krabice. V tomto bodě vyhodnocujeme χ^λ
_ρ když jsou λ a ρ prázdný oddíl () a pravidlo vyžaduje, aby tento případ terminálu byl definován jako znak ${ displaystyle chi _ {()} ^ {()} = 1}$ .

Tato rekurzivní verze pravidla Murnaghan-Nakayama je zvláště účinná pro počítačový výpočet, když se počítají tabulky znaků pro S_k pro zvyšování hodnot k a ukládá všechny dříve vypočítané tabulky znaků.

Příklad

Znovu vypočítáme hodnotu znaku s λ = (5,2,1) a ρ = (3,3,1,1).

Nejprve zvažte Youngův diagram s tvarem λ. Protože první část ρ je 3, hledejte hraniční proužky, které se skládají ze 3 polí. Existují dvě možnosti:

V prvním schématu má okrajový pás výšku 0 a jeho odstraněním se vytvoří zmenšený tvar (2,2,1). Ve druhém schématu má okrajový pás výšku 1 a jeho odstraněním se vytvoří zmenšený tvar (5). Jeden tedy má

${ displaystyle chi _ {(3,3,1,1)} ^ {(5,2,1)} = chi _ {(3,1,1)} ^ {(2,2,1)} - chi _ {(3,1,1)} ^ {(5)}}$ ,