Vícerozměrná Čebyševova nerovnost - Multidimensional Chebyshevs inequality - Wikipedia

tento článek ne uvést žádný Zdroje. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Vícerozměrná Čebyševova nerovnost“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Srpna 2008) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v teorie pravděpodobnosti, vícerozměrná Čebyševova nerovnost je zobecněním Čebyševova nerovnost, což omezuje pravděpodobnost události, že a náhodná proměnná se liší od jeho očekávaná hodnota o více než stanovenou částku.

Nechat X být N-dimenzionální náhodný vektor s očekávaná hodnota ${ displaystyle mu = operatorname {E} [X]}$ a kovarianční matice

${ displaystyle V = operatorname {E} [(X- mu) (X- mu) ^ {T}]. ,}$

Li ${ displaystyle V}$ je pozitivně definitivní matice, pro všechny reálné číslo ${ displaystyle t> 0}$:

${ displaystyle Pr left ({ sqrt {(X- mu) ^ {T} V ^ {- 1} (X- mu)}}> t right) leq { frac {N} { t ^ {2}}}}$

Důkaz

Od té doby ${ displaystyle V}$ je kladně definitivní, tak je ${ displaystyle V ^ {- 1}}$. Definujte náhodnou proměnnou

${ displaystyle y = (X- mu) ^ {T} V ^ {- 1} (X- mu).}$

Od té doby ${ displaystyle y}$ je pozitivní, Markovova nerovnost drží:

${ displaystyle Pr left ({ sqrt {(X- mu) ^ {T} V ^ {- 1} (X- mu)}}> t right) = Pr ({ sqrt {y }}> t) = Pr (y> t ^ {2}) leq { frac { operatorname {E} [y]} {t ^ {2}}}.}$

Konečně,

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {E} [y] & = operatorname {E} [(X- mu) ^ {T} V ^ {- 1} (X- mu)] [6pt] & = operatorname {E} [ operatorname {trace} (V ^ {- 1} (X- mu) (X- mu) ^ {T})] [6pt] & = operatorname {trace} (V ^ {- 1} V) = N end {aligned}}.}$