Pohybující se náklad - Moving load

Pantograf

Vlak

Puška

Příklady pohybujícího se nákladu.

Platnost

Oscilátor

Hmotnost

Druhy pohybujícího se nákladu.

v strukturální dynamika toto je zatížení, které se mění v čase na místo, na které je aplikováno. Příklady: vozidla, která projíždějí mosty, vlaky na trati, vodicí dráhy atd. Ve výpočetních modelech se zatížení obvykle aplikuje jako:

jednoduchá bezhmotná síla,
oscilátor,
setrvačná síla (hmota a nehmotná síla).

Existuje řada historických recenzí týkajících se problému s pohyblivým zatížením (například^[1]^[2]Několik publikací se zabývá podobnými problémy.^[3]

Základní monografie je věnována bezhmotným nákladům.^[4] Setrvačné zatížení v numerických modelech je popsáno v ^[5]Neočekávaná vlastnost diferenciálních rovnic, které řídí pohyb hmotné částice pohybující se na řetězci, Timošenko paprsek, a Mindlin deska je popsána v.^[6] Je to diskontinuita hmotnostní trajektorie blízko konce rozpětí (dobře viditelná v řetězci při rychlosti) proti=0.5C). Pohyblivé zatížení výrazně zvyšuje posunutí. Kritická rychlost, při které je růst posunů maximální, musí být vzata v úvahu v inženýrských projektech. Konstrukce, které přenášejí pohybující se zatížení, mohou mít konečné rozměry nebo mohou být nekonečné a pravidelně podporovány nebo umístěny na pružném základu.

Zvažte jednoduše podporovaný řetězec délky l, plocha průřezu A, hustota hmoty ρ, tahová síla N, vystavený konstantní síle Ppohybující se konstantní rychlostí proti. Pohybová rovnice řetězce pod pohybující se silou má tvar

{ displaystyle -N { frac { částečné ^ {2} w (x, t)} { částečné x ^ {2}}} + rho A { frac { částečné ^ {2} w (x, t)} { částečné t ^ {2}}} = delta (x-vt) P .}

Posunutí libovolného bodu jednoduše podporovaného řetězce je dáno sinusovou řadou

{ displaystyle w (x, t) = { frac {2P} { rho Al}} sum _ {j = 1} ^ { infty} { frac {1} { omega _ {(j)} ^ {2} - omega ^ {2}}} left ( sin ( omega t) - { frac { omega} { omega _ {(j)}}} sin ( omega _ {( j)} t) right) sin { frac {j pi x} {l}} ,}

kde

{ displaystyle omega = { frac {j pi v} {l}} ,}

a přirozená kruhová frekvence řetězce

{ displaystyle omega _ {(j)} ^ {2} = { frac {j ^ {2} pi ^ {2}} {l ^ {2}}} { frac {N} { rho A }} .}

V případě setrvačného pohyblivého zatížení nejsou analytická řešení známa. Pohybová rovnice se zvyšuje o člen vztahující se k setrvačnosti pohybujícího se zatížení. Koncentrovaná hmota m doprovázeno bodovou silou P:

{ displaystyle -N { frac { částečné ^ {2} w (x, t)} { částečné x ^ {2}}} + rho A { frac { částečné ^ {2} w (x, t)} { částečné t ^ {2}}} = delta (x-vt) P- delta (x-vt) m { frac {{ mbox {d}} ^ {2} w (vt, t)} {{ mbox {d}} t ^ {2}}} .}

Konvergence řešení pro různý počet termínů.

Poslední termín, kvůli složitosti výpočtů, je inženýry často opomíjen. Vliv zatížení se sníží na období bezhmotného zatížení. Někdy je oscilátor umístěn v kontaktním bodě. Takové přístupy jsou přijatelné pouze v malém rozsahu rychlosti pojezdového zatížení. Ve vyšších rozsazích se amplituda i frekvence vibrací významně liší v případě obou typů zátěže.

Diferenciální rovnici lze semialyticky vyřešit pouze pro jednoduché problémy. Série určující řešení dobře konverguje a v praxi jsou dostatečné 2 - 3 členy. Složitější problémy lze vyřešit pomocí Metoda konečných prvků nebo metoda časoprostorových konečných prvků.

bezhmotné zatížení	setrvačné zatížení
Vibrace struny působící bezhmotnou silou (proti=0.1C); C je rychlost vlny. Vibrace struny působící bezhmotnou silou (proti=0.5C); C je rychlost vlny.	Vibrace struny působící setrvačnou silou (proti=0.1C); C je rychlost vlny. Vibrace struny působící setrvačnou silou (proti=0.5C); C je rychlost vlny.

Nespojitost trajektorie hmoty je také dobře viditelná v paprsku Timoshenko. Vysoká smyková tuhost zdůrazňuje tento jev.

Vibrace paprsku Timoshenko: červené čáry - osy paprsku v čase, černá čára - hmotnostní trajektorie (w₀- statický průhyb).

Přístup Renaudot vs. přístup Jakušev
Přístup Renaudot

{ displaystyle delta (x-vt) { frac { mbox {d}} {{ mbox {d}} t}} vlevo [m { frac {{ mbox {d}} w (vt, t)} {{ mbox {d}} t}} doprava] = delta (x-vt) m { frac {{ mbox {d}} ^ {2} w (vt, t)} {{ mbox {d}} t ^ {2}}} .}

Jakuševský přístup

{ displaystyle { frac { mbox {d}} {{ mbox {d}} t}} left [ delta (x-vt) m { frac {{ mbox {d}} w (vt, t)} {{ mbox {d}} t}} doprava] = - delta ^ { prime} (x-vt) mv { frac {{ mbox {d}} w (vt, t)} {{ mbox {d}} t}} + delta (x-vt) m { frac {{ mbox {d}} ^ {2} w (vt, t)} {{ mbox {d}} t ^ {2}}} .}

Masivní struna pod pohyblivým setrvačným zatížením
Zvažte bezhmotný řetězec, což je konkrétní případ problému s pohyblivým setrvačným zatížením. První řeší problém Smith.^[7]Analýza bude následovat po řešení Fryby.^[4] Za předpokladu $ρ$ = 0, pohybovou rovnici řetězce pod pohybující se hmotou lze dát do následujícího tvaru

{ displaystyle -N { frac { částečné ^ {2} w (x, t)} { částečné x ^ {2}}} = delta (x-vt) P- delta (x-vt) , m { frac {{ mbox {d}} ^ {2} w (vt, t)} {{ mbox {d}} t ^ {2}}} .}

Ukládáme jednoduše podporované okrajové podmínky a nulové počáteční podmínky. K vyřešení této rovnice použijeme vlastnost konvoluce. Předpokládejme bezrozměrná posunutí řetězce $y$ a bezrozměrný čas $τ$ :

Bezhmotná struna a pohybující se hmota - trajektorie hmoty.

{ displaystyle y ( tau) = { frac {w (vt, t)} {w_ {st}}} , tau = { frac {vt} {l}} , }

kde $w$ _Svatý je statická výchylka uprostřed řetězce. Řešení je dáno součtem

{ displaystyle y ( tau) = { frac {4 , alfa} { alfa , - , 1}} , tau , ( tau -1) , součet _ {k = 1} ^ { infty} , prod _ {i = 1} ^ {k} { frac {(a + i-1) (b + i-1)} {c + i-1}} ; { frac { tau ^ {k}} {k!}} ,}

kde $α$ jsou bezrozměrné parametry:

{ displaystyle alpha = { frac {Nl} {2mv2}} ,> , 0 klín alfa , neq , 1 .}

Parametry $A$ , $b$ a $C$ jsou uvedeny níže

{ displaystyle a_ {1,2} = { frac {3 , pm , { sqrt {1 + 8 alpha}}} {2}} , b_ {1,2} = { frac {3 , mp , { sqrt {1 + 8 alpha}}} {2}} , c = 2 .}

Bezhmotná struna a pohybující se hmota - trajektorie hmoty, α = 1.

V případě $α$ = 1 uvažovaný problém má uzavřené řešení

{ displaystyle y ( tau) = left [{ frac {4} {3}} tau (1- tau) - { frac {4} {3}} tau left (1 + 2 tau ln (1- tau) +2 ln (1- tau) doprava) doprava] .}

Reference

^ C.E. Inglis. Matematické pojednání o vibracích v železničních mostech. Cambridge University Press, 1934.
^ A. Schallenkamp. Schwingungen von Tragern bei bewegten Lasten. Ingenieur-Archiv, 8, 182-198, 1937.
^ A.V. Pesterev; L. A. Bergman; C.A. Opálení; T.C. Tsao; B. Yang (2003). "O asymptotice řešení problému s pohyblivým oscilátorem" (PDF). J. Sound and Vibr. 260. 519–536. Archivovány od originál (PDF) dne 18. 10. 2012. Citováno 2012-11-09.
^ ^A ^b L. Fryba (1999). Vibrace pevných látek a struktur pod pohyblivým zatížením. Dům Thomase Telforda. ISBN 9780727727411.
^ C.I. Bajer & B. Dyniewicz (2012). Numerická analýza vibrací konstrukcí při pohybující se setrvačné zátěži. Přednášky z aplikované a výpočetní mechaniky. 65. Springer. doi:10.1007/978-3-642-29548-5. ISBN 978-3-642-29547-8.
^ B. Dyniewicz a C.I. Bajer (2009). "Paradox trajektorie částice pohybující se na provázku". Oblouk. Appl. Mech. 79 (3). 213–223. doi:10.1007 / s00419-008-0222-9.
^ C.E. Smith (1964). "Pohyb natažené struny nesoucí pohybující se hmotnou částici". J. Appl. Mech. 31 (1). str. 29–37.

[inglis-1] C.E. Inglis. Matematické pojednání o vibracích v železničních mostech. Cambridge University Press, 1934.

[schalle-2] A. Schallenkamp. Schwingungen von Tragern bei bewegten Lasten. Ingenieur-Archiv, 8, 182-198, 1937.

[bergman-3] A.V. Pesterev; L. A. Bergman; C.A. Opálení; T.C. Tsao; B. Yang (2003). "O asymptotice řešení problému s pohyblivým oscilátorem" (PDF). J. Sound and Vibr. 260. 519–536. Archivovány od originál (PDF) dne 18. 10. 2012. Citováno 2012-11-09.

[fryba-4] A ^b L. Fryba (1999). Vibrace pevných látek a struktur pod pohyblivým zatížením. Dům Thomase Telforda. ISBN 9780727727411.

[cb_bd_b-5] C.I. Bajer & B. Dyniewicz (2012). Numerická analýza vibrací konstrukcí při pohybující se setrvačné zátěži. Přednášky z aplikované a výpočetní mechaniky. 65. Springer. doi:10.1007/978-3-642-29548-5. ISBN 978-3-642-29547-8.

[6] B. Dyniewicz a C.I. Bajer (2009). "Paradox trajektorie částice pohybující se na provázku". Oblouk. Appl. Mech. 79 (3). 213–223. doi:10.1007 / s00419-008-0222-9.

[smith64-7] C.E. Smith (1964). "Pohyb natažené struny nesoucí pohybující se hmotnou částici". J. Appl. Mech. 31 (1). str. 29–37.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]