Monotónně normální prostor - Monotonically normal space

V matematice, a monotónně normální prostor je zvláštní druh normální prostor, s některými speciálními vlastnostmi, a je taková, že je dědičně normální, a jakékoli dvě oddělené podmnožiny jsou silně oddělené. Jsou definovány v podmínkách monotónního normálního operátoru.

A ${displaystyle T_ {1}}$ topologický prostor ${displaystyle (X, {mathcal {T}})}$ se říká, že je monotónně normální pokud platí následující podmínka:

Pro každého ${displaystyle xin G}$, kde G je otevřené, tam je otevřená množina ${displaystyle mu (x, G)}$ takhle

1. ${displaystyle xin mu (x, G) subseteq G}$
2. -li ${displaystyle mu (x, G) cap mu (y, H) eq emptyset}$ pak buď ${displaystyle xin H}$ nebo ${displaystyle yin G}$.

Existují některá ekvivalentní kritéria monotónní normality.

Ekvivalentní definice

Definice 2

Prostor X se nazývá monotónně normální, pokud je ${displaystyle T_ {1}}$ a pro každou dvojici disjunktních uzavřených podmnožin ${displaystyle A, B}$ existuje otevřená sada ${displaystyle G (A, B)}$ s vlastnostmi

1. ${displaystyle Asubseteq G (A, B) subseteq G (A, B) ^ {-} subseteq X ackslash B}$ a
2. ${displaystyle G (A, B) subseteq G (A ', B')}$kdykoli ${displaystyle Asubseteq A '}$ a ${displaystyle B'subseteq B}$.

Tento operátor ${displaystyle G}$ je nazýván monotónní operátor normality.

Všimněte si, že pokud G je monotónní operátor normality, pak ${displaystyle {ilde {G}}}$ definován ${displaystyle {ilde {G}} (A, B) = G (A, B) ackslash G (B, A) ^ {-}}$ je také monotónním operátorem normality; a ${displaystyle {ilde {G}}}$ splňuje

${displaystyle {egin {aligned} {ilde {G}} (A, B) cap {ilde {G}} (B, A) = emptyset end {aligned}}}$

Z tohoto důvodu si nějakou dobu vezmeme monotónní operátor normality, abychom splnili výše uvedený požadavek; a to usnadňuje důkaz některých vět a rovnocennosti definic.

Definice 3

Prostor X se nazývá monotónně normální, pokud je ${displaystyle T_ {1}}$, a ke každému páru (A, B) podmnožin X, s ${displaystyle Acap B ^ {-} = emptyset = Bcap A ^ {-}}$, lze přiřadit otevřenou podmnožinu G (A, B) X tak, že

1. ${displaystyle Asubseteq G (A, B) subseteq G (A, B) ^ {-} subseteq X ackslash B,}$
2. ${displaystyle G (A, B) subseteq G (A ', B') {mbox {kdykoli}} Asubseteq A '{mbox {a}} B'subseteq B}$.

Definice 4

Prostor X se nazývá monotónně normální, pokud je ${displaystyle T_ {1}}$ a existuje funkce H, která přiřadí každému uspořádanému páru (p, C), kde C je uzavřená a p je bez C, otevřená množina H (p, C) splňující:

1. ${displaystyle pin H (p, C) subseteq X ackslash C}$
2. pokud je D uzavřeno a ${displaystyle pot v Csupseteq D}$ pak ${displaystyle H (p, C) subseteq H (p, D)}$
3. -li ${displaystyle peq q}$ jsou tedy body v X ${displaystyle H (p, {q}) cap H (q, {p}) = emptyset}$.

Vlastnosti

Důležitým příkladem těchto prostorů by byly, za předpokladu Axiomu výběru, lineárně uspořádané prostory; to však opravdu potřebuje axiom volby aby byl libovolný lineární řád normální (viz papír van Douwena). Žádný zobecněná metrika je monotónně normální i bez volby. Důležitou vlastností monotónně normálních prostorů je, že jsou tam silně odděleny jakékoli dvě oddělené podmnožiny. Monotónní normálnost je dědičná vlastnost a monotónně normální prostor je vždy normální první podmínkou druhé ekvivalentní definice.

Uvádíme některé z vlastností:

1. A uzavřená mapa zachovává monotónní normálnost.
2. Monotónně normální prostor je dědičný kolekce normální.
3. Pružné prostory jsou monotónně normální.

Některé odkazy na diskuse

• Heath, R. W .; Lutzer, D. J .; Zenor, P. L. (duben 1973). „Monotónně normální prostory“ (PDF). Transakce Americké matematické společnosti. 178: 481–493. doi:10.2307/1996713. JSTOR  1996713.
• Borges, Carlos R. (březen 1973). „Studie monotónně normálních prostorů“ (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. 38 (1): 211–214. doi:10.2307/2038799. JSTOR  2038799.
• van Douwen, Eric K. (Září 1985). „Hrůzy topologie bez AC: nenormální objednatelný prostor“ (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. 95 (1): 101–105. doi:10.2307/2045582. JSTOR  2045582.
• Gartside, P. M. (1997). „Kardinální invarianty monotónně normálních prostorů“. Topologie a její aplikace. 77 (3): 303–314. doi:10.1016 / s0166-8641 (96) 00086-7.
• Můžete si prohlédnout diskusi Henno Brandsmy o Monotónní normálnosti v atlasu topologie tady