Zobecněná metrika - Generalised metric

v matematika, pojem a zobecněná metrika je zobecněním toho a metrický, ve kterém vzdálenost není a reálné číslo ale převzato z libovolného objednané pole.

Obecně, když definujeme metrický prostor funkce vzdálenosti se považuje za skutečnou hodnotu funkce. Skutečná čísla tvoří seřazené pole, které je Archimedean a Objednávka Kompletní. Tyto metrické prostory mají některé pěkné vlastnosti jako: v metrickém prostoru kompaktnost, sekvenční kompaktnost a spočítatelná kompaktnost jsou ekvivalentní atd. Tyto vlastnosti však nemusí tak snadno držet, pokud je funkce vzdálenosti převzata v libovolném uspořádaném poli, namísto v ${displaystyle scriptstyle mathbb {R}}$ .

Předběžná definice

Nechat ${displaystyle (F, +, cdot, <)}$ být libovolně seřazené pole a ${displaystyle M}$ neprázdná sada; funkce ${displaystyle d: M imes M o F ^ {+} šálek {0}}$ se nazývá metrika na ${displaystyle M}$ , pokud platí následující podmínky:

${displaystyle d (x, y) = 0 Levý pravý šíp x = y}$ ;
${displaystyle d (x, y) = d (y, x)}$ komutativita;
${displaystyle d (x, y) + d (y, z) geq d (x, z)}$ , trojúhelníková nerovnost.

Není těžké ověřit, zda jsou otevřené koule ${displaystyle B (x, delta);: = {yin M;: d (x, y)$ tvoří základ vhodné topologie, která se nazývá metrická topologie na ${displaystyle M}$ s metrikou v ${displaystyle F}$ .

Vzhledem k tomu, že ${displaystyle F}$ v jeho topologie objednávky je monotónně normální, očekávali bychom ${displaystyle M}$ být alespoň pravidelný.

Další vlastnosti

Nicméně pod axiom volby, každá obecná metrika je monotónně normální, pro, dané ${displaystyle xin G}$ , kde ${displaystyle G}$ je otevřený, je tam otevřená koule ${displaystyle B (x, delta)}$ takhle ${displaystyle xin B (x, delta) subseteq G}$ . Vzít ${displaystyle mu (x, G) = B (x, delta / 2)}$ . Ověřte podmínky pro Monotone Normality.

Zajímavé je, že i bez výběru jsou obecné metriky monotónně normální.

důkaz.

Případ I: F je Archimédovo pole.

Teď když X v ${displaystyle G, G}$ otevřené, můžeme vzít ${displaystyle mu (x, G): = B (x, 1 / 2n (x, G))}$ , kde ${displaystyle n (x, G): = min {nin mathbb {N}: B (x, 1 / n) subseteq G}}$ , a trik je hotový bez volby.

Případ II: F je nearchimédovské pole.

Za dané ${displaystyle xin G}$ kde G je otevřený, zvažte sadu ${displaystyle A (x, G): = {ain Fcolon forall nin mathbb {N}, B (x, ncdot a) subseteq G}}$ .

Sada A(X, G) není prázdný. Pro, jako G je otevřený, je tam otevřená koule B(X, k) v rámci G. Nyní, jako F není Archimdedean, ${displaystyle mathbb {N} _ {F}}$ není omezena výše, a proto tam nějaké jsou ${displaystyle xi in F}$ s ${displaystyle forall nin mathbb {N} colon ncdot 1leq xi}$ . Uvedení ${displaystyle a = kcdot (2xi) ^ {- 1}}$ , vidíme to ${displaystyle a}$ je v A(X, G).

Nyní definujte ${displaystyle mu (x, G) = igcup {B (x, a) dvojtečka ain A (x, G)}}$ . Ukázali bychom, že s ohledem na tohoto operátora mu je prostor monotónně normální. Všimněte si, že ${displaystyle mu (x, G) subseteq G}$ .

Li y není v G(otevřená sada obsahující X) a X není v H(otevřená sada obsahující y), pak bychom to ukázali ${displaystyle mu (x, G) cap mu (y, H)}$ je prázdný. Pokud ne, řekněte z je v křižovatce. Pak

{displaystyle existuje ain A (x, G) dvojtečka d (x, z)

.

Z výše uvedeného to chápeme ${displaystyle d (x, y) leq d (x, z) + d (z, y) <2cdot max {a, b}}$ , což je nemožné, protože to by také naznačovalo y patří ${displaystyle mu (x, G) subseteq G}$ nebo X patří ${displaystyle mu (y, H) subseteq H}$ .

Takže jsme hotovi!

Diskuse a odkazy

Carlos R. Borges, Studium monotónně normálních prostorů, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 38, č. 1 (březen 1973), s. 211–214. [1]
FOM diskuse odkaz