Mnëvova věta o univerzálnosti - Mnëvs universality theorem - Wikipedia

v algebraická geometrie, Mnëvova věta o univerzálnosti je výsledek, který lze použít k reprezentaci algebraický (nebo částečně algebraické ) odrůdy jako realizace orientované matroidy, pojem kombinatorika.^[1][2][3]

Orientované matroidy

Pro účely Mnëvovy univerzality, an orientovaný matroid konečné podmnožiny ${ displaystyle S podmnožina { mathbb {R}} ^ {n}}$ je seznam všech oddílů bodů v S vyvolané hyperplany v ${ displaystyle { mathbb {R}} ^ {n}}$. Struktura orientovaného matroidu obsahuje zejména úplné informace o incidenčních vztazích v S, vyvolání na S A matroid struktura.

The realizační prostor orientovaného matroidu je prostor všech konfigurací bodů ${ displaystyle S podmnožina { mathbb {R}} ^ {n}}$ vyvolání stejné orientované struktury matroidu na S.

Stabilní ekvivalence semialgebraických množin

Pro účely Mnëvovy univerzality se stabilní ekvivalence z semialgebraické množiny je definována následovně.

Nechat U, PROTI být semialgebraické množiny, získané jako odpojené spojení spojených semialgebraických množin

${ displaystyle U = U_ {1} coprod cdots coprod U_ {k}}$, ${ displaystyle V = V_ {1} coprod cdots coprod V_ {k}}$

Říkáme to U a PROTI jsou racionálně ekvivalentní pokud existují homeomorfismy ${ displaystyle U_ {i} { stackrel { varphi _ {i}} { mapsto}} V_ {i}}$ racionálními mapami.

Nechat ${ displaystyle U podmnožina { mathbb {R}} ^ {n + d}, V podmnožina { mathbb {R}} ^ {n}}$ být semialgebraické množiny,

${ displaystyle U = U_ {1} coprod cdots coprod U_ {k}}$, ${ displaystyle V = V_ {1} coprod cdots coprod V_ {k}}$

s ${ displaystyle U_ {i}}$ mapování do ${ displaystyle V_ {i}}$ pod přirozenou projekcí ${ displaystyle pi}$ mazání poslední d souřadnice. Říkáme to ${ displaystyle pi: ; U mapsto V}$ je stabilní projekce pokud existují celočíselné polynomické mapy

${ displaystyle varphi _ {1}, ldots, varphi _ { ell}, psi _ {1}, tečky, psi _ {m}: ; { mathbb {R}} ^ {n } mapsto ({ mathbb {R}} ^ {d}) ^ {*}}$

takhle

${ displaystyle U_ {i} = {(v, v ') v { mathbb {R}} ^ {n + d} střední v v V_ {i} { textu {a}} langle varphi _ {a} (v), v ' rangle> 0, langle psi _ {b} (v), v' rangle = 0 { text {for}} a = 1, dots, ell , b = 1, tečky, m }.}$

The stabilní ekvivalence je ekvivalenční vztah na semialgebraické podmnožiny generované stabilními projekcemi a racionální ekvivalencí.

Mnëvova věta o univerzálnosti

TEORÉM (Mnëvova věta o univerzálnosti)

Nechat PROTI být semialgebraickou podmnožinou v ${ displaystyle { mathbb {R}} ^ {n}}$ definované přes celá čísla. Pak PROTI je stabilně ekvivalentní realizačnímu prostoru určitého orientovaného matroidu.

Dějiny

Mnëvovu teorém o univerzálnosti objevil Nikolai Mnëv v jeho 1986 Ph.D. teze.^[4] To má četné aplikace v algebraické geometrii, kvůli Laurent Lafforgue, Ravi Vakil a další, což umožňuje jednomu konstruovat modulové prostory s libovolně špatným chováním.

Poznámky

• Věta o univerzálnosti, přednáška Nikolaje Mnëva (v ruštině).
• Nikolai E. Mnëv, Věty o univerzálnosti týkající se problému klasifikace konfiguračních odrůd a konvexních odrůd polytopů (str. 527–543), „Topologie a geometrie: Rohlinův seminář“. Upraveno uživatelem O. Ya. Viro. Přednášky z matematiky, 1346. Springer-Verlag, Berlín, 1988.
• Vakil, Ravi (2006), „Murphyho zákon v algebraické geometrii: špatně vychované deformační prostory“, Inventiones Mathematicae, 164 (3): 569–590, arXiv:matematika / 0411469, doi:10.1007 / s00222-005-0481-9.
• Richter-Gebert, Jürgen (1995), „Mnëvova věta o univerzálnosti se znovu objevila“, Seminář Lotharingien de Combinatoire, B34h: 15

• Jürgen Richter-Gebert Věty o univerzálnosti pro orientované matroidy a polytopy, Contemporary Mathematics 223, 269–292 (1999).

Reference