Minimální odchylka - Minimum deviation

V hranol, úhel odchylky ( $δ$ ) klesá s nárůstem úhlu dopadu ( $i$ ) až do určitého úhlu. Tento úhel dopadu, kde je úhel odchylky v hranolu minimální, se nazývá Poloha minimální odchylky hranolu a právě tento úhel odchylky je známý jako Minimální úhel odchylky (označeno $δ min$ , $D λ$ nebo $D m$ ).

Světlo je vychýleno, když vstupuje do materiálu s indexem lomu> 1.

Paprsek světla je v hranolu dvakrát vychýlen. Součet těchto výchylek je úhel odchylky.

Když jsou vstupní a výstupní úhly stejné, bude úhel odchylky paprsku procházejícího hranolem minimální.

Úhel minimální odchylky souvisí s indexem lomu jako:

${displaystyle n_ {21} = {dfrac {sin left ({dfrac {A + D_ {m}} {2}} ight)} {sin left ({dfrac {A} {2}} ight)}}}$

To je užitečné pro výpočet indexu lomu materiálu. Duha a halo se vyskytují při minimální odchylce. Tenký hranol je také vždy nastaven na minimální odchylku.

Vzorec

Při minimální odchylce je lom paprsku v hranolu paralelní na jeho základnu. Jinými slovy, světelný paprsek je symetrický kolem osy symetrie hranolu.^[1]^[2]^[3] Rovněž úhly lomu jsou stejné, tj. $r 1 = r 2$ . A, úhel dopadu a úhel vzejití se navzájem rovnají ( $i = E$ ). To je jasně vidět na níže uvedeném grafu.

Vzorec pro minimální odchylku lze odvodit využitím geometrie v hranolu. Tento přístup zahrnuje nahrazení proměnných v Snellov zákon pokud jde o úhly odchylek a hranolů využitím výše uvedených vlastností.

Minimální odchylka.jpg

Z Úhel součtu z ${extstyle riangle OPQ}$ ,

${displaystyle A + úhel OPQ + úhel OQP = 180 ^ {circ}}$

${displaystyle implikuje A = 180 ^ {circ} - (90-r) - (90-r)}$

${displaystyle implikuje r = {frac {A} {2}}}$

Za použití Věta o vnějším úhlu v ${extstyle riangle PQR}$ ,

${displaystyle D_ {m} = úhel RPQ + úhel RQP}$

${displaystyle implikuje D_ {m} = i-r + i-r}$

${displaystyle implikuje 2r + D_ {m} = 2i}$

${displaystyle implikuje A + D_ {m} = 2i}$

${displaystyle implikuje i = {frac {A + D_ {m}} {2}}}$

To lze také odvodit uvedením $i = E$ v Hranolový vzorec: $i + E = A + δ$

Z Snellov zákon,

${displaystyle n_ {21} = {dfrac {sin i} {sin r}}}$

{displaystyle here n_ {21} = {dfrac {sin left ({dfrac {A + D_ {m}} {2}} ight)} {sin left ({dfrac {A} {2}} ight)}}}

^[4]^[3]^[1]^[2]^[5]^{[nadměrné citace ]}

{displaystyle here D_ {m} = 2sin ^ {- 1} left (nsin left ({frac {A} {2}} ight) ight) -A}

(kde $n$ je index lomu, $A$ je úhel hranolu a $D m$ je minimální úhel odchylky.)

To je pohodlný způsob slouží k měření indexu lomu materiálu (kapalina nebo plyn) nasměrováním světelného paprsku přes hranol zanedbatelné tloušťky s minimální odchylkou naplněnou materiálem nebo ve skleněném hranolu ponořeném do něj.^[5]^[3]^[1]^[6]

Vypracované příklady:

Index lomu skla je 1,5. Je požadován minimální úhel odchylky pro rovnostranný hranol spolu s odpovídajícím úhlem dopadu.

Odpověď: 37 °, 49 °

Řešení:

Tady, $A = 60°$ , $n = 1.5$

Zapojením do výše uvedeného vzorce

${extstyle {frac {sin left ({frac {60 + delta} {2}} ight)} {sin left ({frac {60} {2}} ight)}} = 1,5}$

${extstyle znamená {frac {sin left (30+ {frac {delta} {2}} ight)} {sin (30)}} = 1,5}$

${extstyle znamená hřích vlevo (30+ {frac {delta} {2}} ight) = 1,5 imes 0,5}$

${extstyle znamená 30+ {frac {delta} {2}} = sin ^ {- 1} (0,75)}$

${extstyle implikuje {frac {delta} {2}} = 48,6-30}$

${extstyle znamená delta = 2 obrázky 18,6}$

${extstyle proto delta cca 37 ^ {circ}}$

Taky,

${extstyle i = {frac {(A + delta)} {2}} = {frac {60 + 2 imes 18.6} {2}} cca 49 ^ {circ}}$

To je také patrné z níže uvedeného grafu.

Pokud se minimální úhel odchylky hranolu indexu lomu 1,4 rovná jeho úhlu lomu, je požadován úhel hranolu.

Odpověď: 60 °

Řešení:

Tady, ${extstyle delta = r}$

${extstyle implikuje delta = {frac {A} {2}}}$

Pomocí výše uvedeného vzorce

${extstyle {frac {sin left ({frac {A + {frac {A} {2}}} {2}} ight)} {sin left ({frac {A} {2}} ight)}} = 1,4}$

${extstyle znamená {frac {sin left ({frac {3A} {4}} ight)} {sin left ({frac {A} {2}} ight)}} = {frac {frac {1} {2}} {frac {1} {sqrt {2}}}}}$

${extstyle znamená {frac {sin left ({frac {3A} {4}} ight)} {sin left ({frac {A} {2}} ight)}} = {frac {sin 45 ^ {circ}} { hřích 30 ^ {circ}}}}$

${extstyle here A = 60 ^ {circ}}$

Rovněž lze odchylku úhlu odchylky s libovolným úhlem dopadu zapouzdřit do jedné rovnice vyjádřením $E$ ve smyslu $i$ ve vzorci hranolu pomocí Snellova zákona:

{displaystyle delta = i-A + sin ^ {- 1} vlevo (ncdot sin left (A-sin ^ {- 1} left ({frac {sin i} {n}} ight) ight) ight)}

Nalezení minim této rovnice také poskytne stejný vztah pro minimální odchylku jako výše.

V tomto grafu úhlu odchylky vs úhlu dopadu odpovídá δ dvěma hodnotám i a e (i '). Pro minimální odchylku se však i rovná e.

Pro tenký hranol

V tenkém nebo malém úhlu hranolu, protože úhly jsou velmi malé, sinus úhel se téměř rovná samotnému úhlu a to přináší mnoho užitečných výsledků.

Protože $D m$ a $A$ jsou velmi malé,

${displaystyle {egin {aligned} n & cca {dfrac {frac {A + D_ {m}} {2}} {frac {A} {2}}} n & = {frac {A + D_ {m}} {A} } D_ {m} & = An-Aend {zarovnáno}}}$

{displaystyle here D_ {m} = A (n-1)}

^[1]^[4]

Je zajímavé, že použití podobného přístupu s Snellov zákon a Hranolový vzorec protože obecně tenký hranol končí ve stejném výsledku pro úhel odchylky.

Protože $i$ , $E$ a $r$ jsou malé,

${displaystyle napprox {frac {i} {r_ {1}}}, napprox {frac {e} {r_ {2}}}}$

Z Hranolový vzorec,

${displaystyle {egin {aligned} delta & = nr_ {1} + nr_ {2} -A & = n (r_ {1} + r_ {2}) - A & = nA-A & = A (n -1) konec {zarovnáno}}}$

Dá se tedy říci, že a tenký hranol je vždy v minimální odchylce.

Exprimativní odhodlání

Minimální odchylku lze nalézt Ručně nebo s Spektrometr. Buď je hranol udržován pevný a úhel dopadu je upraven, nebo se hranol otáčí a udržuje světelný zdroj pevný.^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]

Minimální úhel rozptylu

Minimální úhel disperze pro bílé světlo je rozdíl v minimálním úhlu odchylky mezi červeným a fialovým paprskem světelného paprsku hranolem.^[2]

Úhel disperze v hranolu

Aplikace

Kreslení poloměrů k bodům interference ukazuje, že úhly lomu jsou stejné, což dokazuje minimální odchylku.

Jedním z faktorů, který způsobuje duhu, je shluk světelných paprsků s minimálním úhlem odchylky, který je blízko k duhový úhel(42°).^[3]^[12]

Je také zodpovědný za jevy jako svatozář a sundogové, produkovaný odchylkou slunečního světla v mini hranolech hexagonálních ledových krystalů ve vzduchu ohýbajícím světlo s minimální odchylkou 22 °.^[3]^[13]