Milne-Thomsonova metoda pro zjištění holomorfní funkce - Milne-Thomson method for finding a holomorphic function

V matematice je Milne-Thomsonova metoda je metoda pro nalezení a holomorfní funkce jehož skutečná nebo imaginární část je dána.^[1] Je pojmenován po Louis Melville Milne-Thomson.

Úvod

Nechat ${ displaystyle z = x + iy}$ a ${ displaystyle { bar {z}} = x-iy}$ kde ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ jsou nemovitý.

Nechat ${ displaystyle f (z) = u (x, y) + iv (x, y)}$ být kdokoli holomorfní funkce.

Příklad 1: ${ displaystyle z ^ {4} = (x ^ {4} -6x ^ {2} y ^ {2} + y ^ {4}) + i (4x ^ {3} y-4xy ^ {3})}$

Příklad 2: ${ displaystyle exp (iz) = cos (x) exp (-y) + i sin (x) exp (-y)}$

Ve svém článku^[1], Milne-Thomson považuje za problém najít ${ displaystyle f (z)}$ když 1. ${ displaystyle u (x, y)}$ a ${ displaystyle v (x, y)}$ jsou uvedeny, 2. ${ displaystyle u (x, y)}$ je uveden a ${ displaystyle f (z)}$ je skutečný na skutečné ose, pouze 3. ${ displaystyle u (x, y)}$ je uveden, pouze 4. ${ displaystyle v (x, y)}$ je dáno. Skutečně se zajímá o problémy 3 a 4, ale odpovědi na problémy 1 a 2 jsou potřebné k prokázání odpovědí na problémy 3 a 4.

1^Svatý problém

Problém: ${ displaystyle u (x, y)}$ a ${ displaystyle v (x, y)}$ jsou známy; co je ${ displaystyle f (z)}$?

Odpovědět: ${ displaystyle f (z) = u (z, 0) + iv (z, 0)}$

Slovy: holomorfní funkce ${ displaystyle f (z)}$ lze získat uvedením ${ displaystyle x = z}$ a ${ displaystyle y = 0}$ v ${ displaystyle u (x, y) + iv (x, y)}$.

Příklad 1: s ${ displaystyle u (x, y) = x ^ {4} -6x ^ {2} y ^ {2} + y ^ {4}}$ a ${ displaystyle v (x, y) = 4x ^ {3} y-4xy ^ {3}}$ získáváme ${ displaystyle f (z) = z ^ {4}}$.

Příklad 2: s ${ displaystyle u (x, y) = cos (x) exp (-y)}$ a ${ displaystyle v (x, y) = sin (x) exp (-y)}$ získáváme ${ Displaystyle f (z) = cos (z) + i sin (z) = exp (iz)}$.

Důkaz:

Z první dvojice definic ${ displaystyle x = { frac {z + { bar {z}}} {2}}}$ a ${ displaystyle y = { frac {z - { bar {z}}} {2i}}}$.

Proto ${ displaystyle f (z) = u left ({ frac {z + { bar {z}}} {2}} , { frac {z - { bar {z}}} {2i}} vpravo) + iv vlevo ({ frac {z + { bar {z}}} {2}} , { frac {z - { bar {z}}} {2i}} vpravo)}$.

Toto je identita, i když ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ nejsou skutečné, tj. dvě proměnné ${ displaystyle z}$ a ${ displaystyle { bar {z}} }$ lze považovat za nezávislé. Uvedení ${ displaystyle { bar {z}} = z}$ dostaneme ${ displaystyle f (z) = u (z, 0) + iv (z, 0)}$.

2^nd problém

Problém: ${ displaystyle u (x, y)}$ je známo, ${ displaystyle v (x, y)}$ není známo, ${ displaystyle f (x + i0)}$ je skutečný; co je ${ displaystyle f (z)}$?

Odpovědět: ${ displaystyle f (z) = u (z, 0)}$.

Platí zde pouze příklad 1: s ${ displaystyle u (x, y) = x ^ {4} -6x ^ {2} y ^ {2} + y ^ {4}}$ získáváme ${ displaystyle f (z) = z ^ {4}}$.

Důkaz: "${ displaystyle f (x + i0)}$ je skutečný "znamená ${ displaystyle v (x, 0) = 0}$. V takovém případě bude odpověď na problém 1 ${ displaystyle f (z) = u (z, 0)}$.

3^rd problém

Problém: ${ displaystyle u (x, y)}$ je známo, ${ displaystyle v (x, y)}$ není znám; co je ${ displaystyle f (z)}$?

Odpovědět: ${ displaystyle f (z) = u (z, 0) -i int u_ {y} (z, 0) dz}$ (kde ${ displaystyle u_ {y} (x, y)}$ je částečná derivace ${ displaystyle u (x, y)}$ s ohledem na ${ displaystyle y}$).

Příklad 1: s ${ displaystyle u (x, y) = x ^ {4} -6x ^ {2} y ^ {2} + y ^ {4}}$ a ${ displaystyle u_ {y} (x, y) = - 12x ^ {2} y + 4y ^ {3}}$ získáváme ${ displaystyle f (z) = z ^ {4} + iC}$ se skutečnými, ale neurčenými ${ displaystyle C}$.

Příklad 2: s ${ displaystyle u (x, y) = cos (x) exp (-y)}$ a ${ displaystyle u_ {y} (x, y) = - cos (x) exp (-y)}$ získáváme ${ Displaystyle f (z) = cos (z) + i int cos (z) dz = cos (z) + i ( sin (z) + C) = exp (iz) + iC}$.

Důkaz: Toto vyplývá z ${ displaystyle f (z) = u (z, 0) + i int v_ {x} (z, 0) dz}$ a 2^nd Cauchy-Riemannova rovnice ${ displaystyle u_ {y} (x, y) = - v_ {x} (x, y)}$.

4^th problém

Problém: ${ displaystyle u (x, y)}$ není známo, ${ displaystyle v (x, y)}$ je známo; co je ${ displaystyle f (z)}$?

Odpovědět: ${ displaystyle f (z) = int v_ {y} (z, 0) dz + iv (z, 0)}$.

Příklad 1: s ${ displaystyle v (x, y) = 4x ^ {3} y-4xy ^ {3}}$ a ${ displaystyle v_ {y} (x, y) = 4x ^ {3} -12xy ^ {2}}$ získáváme ${ displaystyle f (z) = int 4z ^ {3} dz + i0 = z ^ {4} + C}$ se skutečnými, ale neurčenými ${ displaystyle C}$.

Příklad 2: s ${ displaystyle v (x, y) = sin (x) exp (-y)}$ a ${ displaystyle v_ {y} (x, y) = - sin (x) exp (-y)}$ získáváme ${ Displaystyle f (z) = - int sin (z) dz + i sin (z) = cos (z) + C + i sin (z) = exp (iz) + C}$.

Důkaz: Toto vyplývá z ${ displaystyle f (z) = int u_ {x} (z, 0) dz + iv (z, 0)}$ a 1^Svatý Cauchy-Riemannova rovnice ${ displaystyle u_ {x} (x, y) = v_ {y} (x, y)}$.

Reference