Michellovy struktury - Michell structures

Michellovy struktury jsou struktury, které jsou optimální na základě kritérií definovaných A.G.M. Michell ve svém často zmiňovaném článku z roku 1904.^[1]

Michell tvrdí, že „Rám (dnes nazývaný příhradový) (dosahuje optima) dosahuje meze hospodárnosti materiálu možné v jakékoli konstrukci rámu za stejných aplikovaných sil, pokud může být prostor, který zabírá, vystaven vhodné malé deformaci, takže deformace ve všech sloupcích rámu jsou zvětšeny o stejné zlomky jejich délek, ne menší než zlomková změna délky kteréhokoli prvku prostoru. “

Výše uvedený závěr je založen na větě Maxwellovy cesty zatížení:

${ displaystyle sum _ {} l_ {p} f_ {p} - sum _ {} l_ {q} f_ {q} = C}$

Kde ${ displaystyle f_ {p}}$ je hodnota napětí v libovolném prvku napětí o délce ${ displaystyle l_ {p}}$, ${ displaystyle f_ {q}}$ je hodnota komprese v libovolném kompresním prvku délky ${ displaystyle l_ {q}}$ a ${ displaystyle C}$ je konstantní hodnota, která je založena na vnějším zatížení aplikovaném na konstrukci.

Na základě Maxwellovy věty o dráze zatížení, která snižuje dráhu zatížení tažných prvků ${ displaystyle textstyle sum _ {} l_ {p} f_ {p}}$ sníží o stejnou hodnotu cestu zatížení kompresních prvků${ displaystyle textstyle suma _ {} l_ {q} f_ {q}}$ pro danou sadu externích zátěží. Struktura s minimální cestou zatížení je ta, která má minimum dodržování (s minimálním váženým průhybem v bodech aplikovaných zatížení váženým hodnotami těchto zatížení). V důsledku toho jsou Michellovy struktury minimální vazníky.

Speciální případy

1. Všechny tyče vazníku jsou vystaveny zatížení stejného znaménka (tah nebo tlak).

Požadovaný objem materiálu je stejný pro všechny možné případy pro danou sadu zatížení. Michell definuje minimální požadovaný objem materiálu, který má být:${ textstyle V_ {m} = { frac { sum _ {} lf} {P}}}$

Kde ${ displaystyle P}$ je přípustné napětí v materiálu.

2. Smíšené napínací a tlakové tyče

Obecnějším případem jsou rámy, které se skládají z tyčí, které před a po příslušné deformaci tvoří křivky ortogonálních systémů. Dvourozměrný ortogonální systém zůstává kolmý po natažení jedné řady křivek a komprimaci druhé se stejným napětím právě tehdy, je-li sklon mezi dvěma sousedními křivkami stejné řady konstantní po celé jejich délce. Výsledkem tohoto požadavku je, že kolmá řada vytvrzení má být buď:

a) systémy tečen a evoluce nebo

b) systémy protínající se logaritmické spirály.

Pamatujte, že přímka nebo kruh jsou speciální případy a logaritmická spirála.

Příklady

Michell poskytl několik příkladů optimálních snímků:

A	b	C	d	E
Jedna síla F působící v A, působící v pravém úhlu k přímce AB	Jedna síla F působící na C vycentrovaná mezi podpěrami v bodech A a B (řešení s úplným prostorem)	Jedna síla F působící na C vycentrovaná mezi podpěrami v bodech A a B (řešení polovičního prostoru)	Středově zatížený paprsek silou od přímky mezi podpěrami. Konstrukce podobná konstrukci příkladů b a c	Rovné a protilehlé páry platí v bodech A, B na přímce AB. Minimální rámec se skládá ze série loxodií nakloněných pod úhlem 45 stupňů k poledníkům koule, která má póly v A a B

Prager krovy

V posledních letech bylo provedeno mnoho studií o diskrétních optimálních vaznících.^[2][3][4] Navzdory definovaným Michellovým vazníkům pro kontinuum (nekonečný počet členů) se jim někdy říká také Michellské vazníky. Významný příspěvek k tématu diskrétních optimálních vazníků měl William Prager kteří pomocí metody kruhu relativních posunů dospěli k optimální topologii těchto vazníků (obvykle konzolových nosníků). Poznat Prager je diskrétní příhradové vazníky Michell se někdy nazývají Pragerovy vazníky. Později geometrii konzolových vazníků Prager formalizoval Mazurek, Pekař a Tort ^[5][6] kteří si všimli určitých geometrických vztahů mezi členy optimálních diskrétních vazníků pro 3 bodové nebo 3 silové problémy.

Reference