Meandr (matematika) - Meander (mathematics)
v matematika, a meandr nebo uzavřený meandr je vyhýbání se sobě samému uzavřená křivka který protíná čáru několikrát. Intuitivně lze na meandr pohlížet jako na silnici překračující řeku přes řadu mostů.
Meandr
Vzhledem k pevně orientované linii L v Euklidovské letadlo R2, a meandr řádu n je nesekující se uzavřená křivka v R2 který příčně protíná čáru na 2n body za nějaké kladné celé číslo n. Čára a křivka společně tvoří a meandrický systém. Dva meandry se považují za rovnocenné, pokud existuje homeomorfismus celého letadla, které zabírá L k sobě a vezme jeden meandr k druhému.
Příklady
Meandr řádu 1 protíná čáru dvakrát:
Meandry řádu 2 protínají čáru čtyřikrát.
Meandrická čísla
Počet odlišných meandrů řádu n je meandrické číslo Mn. Prvních patnáct meandrických čísel je uvedeno níže (sekvence A005315 v OEIS ).
- M1 = 1
- M2 = 1
- M3 = 2
- M4 = 8
- M5 = 42
- M6 = 262
- M7 = 1828
- M8 = 13820
- M9 = 110954
- M10 = 933458
- M11 = 8152860
- M12 = 73424650
- M13 = 678390116
- M14 = 6405031050
- M15 = 61606881612
Meandrické permutace
(1 8 5 4 3 6 7 2)
A meandrická permutace řádu n je definován na množině {1, 2, ..., 2n} a je určen meandrickým systémem následujícím způsobem:
- S přímkou orientovanou zleva doprava je každý průsečík meandru postupně označen celými čísly, počínaje 1.
- Křivka je orientována nahoru na křižovatce označené 1.
- The cyklická permutace bez pevných bodů se získá sledováním orientované křivky označenými průsečíky.
V diagramu vpravo je řádová 4 meandrická permutace dána vztahem (1 8 5 4 3 6 7 2). Tohle je permutace napsáno v cyklická notace a nesmí být zaměňována s jednorázová notace.
Pokud π je meandrická permutace, pak π2 se skládá ze dvou cykly, jeden obsahuje všechny sudé symboly a druhý všechny liché symboly. Permutace s touto vlastností se nazývají alternativní obměny, protože symboly v původní permutaci se střídají mezi lichými a sudými celými čísly. Ne všechny alternativní permutace jsou však meandrické, protože je nemožné je nakreslit bez zavedení křižovatky v křivce. Například alternativní permutace řádu 3 (1 4 3 6 5 2) není meandrická.
Otevřený meandr
Vzhledem k pevně orientované linii L v Euklidovské letadlo R2, an otevřený meandr řádu n je křivka, která se sama neprotíná, v R2 který příčně protíná čáru v n body za nějaké kladné celé číslo n. Dva otevřené meandry se považují za rovnocenné, pokud jsou homeomorfní v letadle.
Příklady
Otevřený meandr řádu 1 protíná čáru jednou:
Otevřený meandr řádu 2 protíná čáru dvakrát:
Otevřete meandrická čísla
Počet zřetelných otevřených meandrů řádu n je otevřené meandrické číslo mn. Prvních patnáct otevřených meandrických čísel je uvedeno níže (sekvence A005316 v OEIS ).
- m1 = 1
- m2 = 1
- m3 = 2
- m4 = 3
- m5 = 8
- m6 = 14
- m7 = 42
- m8 = 81
- m9 = 262
- m10 = 538
- m11 = 1828
- m12 = 3926
- m13 = 13820
- m14 = 30694
- m15 = 110954
Semi-meandr
Vzhledem k pevné orientaci paprsek R v Euklidovské letadlo R2, a semi-meandr řádu n je uzavřená křivka, která se neprotíná sama R2 který příčně protíná paprsek v n body za nějaké kladné celé číslo n. Dva semi-meandry jsou považovány za rovnocenné, pokud jsou homeomorfní v letadle.
Příklady
Semi-meandr řádu 1 protíná paprsek jednou:
Semi-meandr řádu 2 protíná paprsek dvakrát:
Semi-meandrická čísla
Počet zřetelných poloměsíců řádu n je semi-meandrické číslo Mn (obvykle se označuje podtržítkem místo podtržení). Prvních patnáct semi-meandrických čísel je uvedeno níže (sekvence A000682 v OEIS ).
- M1 = 1
- M2 = 1
- M3 = 2
- M4 = 4
- M5 = 10
- M6 = 24
- M7 = 66
- M8 = 174
- M9 = 504
- M10 = 1406
- M11 = 4210
- M12 = 12198
- M13 = 37378
- M14 = 111278
- M15 = 346846
Vlastnosti meandrických čísel
Tady je injekční funkce od meandru po otevřená meandrická čísla:
- Mn = m2n−1
Každé meandrické číslo může být ohraničený podle semi-meandrických čísel:
- Mn ≤ Mn ≤ M2n
Pro n > 1, meandrická čísla jsou dokonce:
- Mn ≡ 0 (mod 2)