Střední periodická funkce - Mean-periodic function

v matematická analýza, pojem a střední-periodická funkce je zobecněním pojmu a periodická funkce představen v roce 1935 Jean Delsarte.^[1][2] Další výsledky přinesl Laurent Schwartz.^[3][4]

Definice

Zvažte a komplex -hodnotená funkce F a nemovitý proměnná. Funkce F je periodické s periodou A přesně pokud pro všechny skutečné X, my máme F(X) − F(X − A) = 0. To lze zapsat jako

${ displaystyle int f (x-y) , d mu (y) = 0 qquad qquad (1)}$

kde ${ displaystyle mu}$ je rozdíl mezi Diracova opatření na 0 aA. Funkce F je střední periodická, pokud splňuje stejnou rovnici (1), ale kde ${ displaystyle mu}$ je libovolné nenulové měřítko s kompaktní (tedy ohraničenou) podporou.

Rovnici (1) lze interpretovat jako a konvoluce, takže střední-periodická funkce je funkcí F pro které existuje kompaktně podporovaná (podepsaná) míra Borel ${ displaystyle mu}$ pro který ${ displaystyle f * mu = 0}$.^[4]

Existuje několik dobře známých ekvivalentních definic.^[2]

Vztah k téměř periodickým funkcím

Střední periodické funkce jsou samostatným zobecněním periodických funkcí od téměř periodické funkce. Například exponenciální funkce jsou od té doby průměrně periodické exp (X+1) − E.exp (X) = 0, ale nejsou téměř periodické, protože jsou neomezené. Přesto existuje věta, která uvádí, že každá rovnoměrně spojité ohraničená střední periodická funkce je téměř periodická (ve smyslu Bohra). V opačném směru existují téměř periodické funkce, které nejsou střední periodické.^[2]

Aplikace

V práci související s Langlandsova korespondence, střední periodicita určitých (funkcí souvisejících) funkcí zeta souvisejících s aritmetické schéma Bylo navrženo, aby odpovídaly automorficitě související L-funkce.^[5] Z teorie čísel existuje určitá třída středně-periodických funkcí.

Viz také

• 　téměř periodické funkce

Reference