Střední periodická funkce - Mean-periodic function

v matematická analýza, pojem a střední-periodická funkce je zobecněním pojmu a periodická funkce představen v roce 1935 Jean Delsarte.[1][2] Další výsledky přinesl Laurent Schwartz.[3][4]

Definice

Zvažte a komplex -hodnotená funkce F a nemovitý proměnná. Funkce F je periodické s periodou A přesně pokud pro všechny skutečné X, my máme F(X) − F(XA) = 0. To lze zapsat jako

kde je rozdíl mezi Diracova opatření na 0 aA. Funkce F je střední periodická, pokud splňuje stejnou rovnici (1), ale kde je libovolné nenulové měřítko s kompaktní (tedy ohraničenou) podporou.

Rovnici (1) lze interpretovat jako a konvoluce, takže střední-periodická funkce je funkcí F pro které existuje kompaktně podporovaná (podepsaná) míra Borel pro který .[4]

Existuje několik dobře známých ekvivalentních definic.[2]

Vztah k téměř periodickým funkcím

Střední periodické funkce jsou samostatným zobecněním periodických funkcí od téměř periodické funkce. Například exponenciální funkce jsou od té doby průměrně periodické exp (X+1) − E.exp (X) = 0, ale nejsou téměř periodické, protože jsou neomezené. Přesto existuje věta, která uvádí, že každá rovnoměrně spojité ohraničená střední periodická funkce je téměř periodická (ve smyslu Bohra). V opačném směru existují téměř periodické funkce, které nejsou střední periodické.[2]

Aplikace

V práci související s Langlandsova korespondence, střední periodicita určitých (funkcí souvisejících) funkcí zeta souvisejících s aritmetické schéma Bylo navrženo, aby odpovídaly automorficitě související L-funkce.[5] Z teorie čísel existuje určitá třída středně-periodických funkcí.

Viz také

Reference

  1. ^ Delsarte, Jean (1935). "Les fonctions moyenne-périodiques". Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 17: 403–453.
  2. ^ A b C Kahane, J.-P. (1959). Přednášky o středních periodických funkcích (PDF). Tata Institute of Fundamental Research, Bombay.
  3. ^ Malgrange, Bernard (1954). „Fonctions moyenne-périodiques (d'après J.-P. Kahane)“ (PDF). Seminář Bourbaki (97): 425–437.
  4. ^ A b Schwartz, Laurent (1947). „Théorie générale des fonctions moyenne-périodiques“ (PDF). Ann. matematiky. 48 (2): 857–929. doi:10.2307/1969386. JSTOR  1969386.
  5. ^ Fesenko, I.; Ricotta, G .; Suzuki, M. (2012). "Střední periodicita a funkce zeta". Annales de l'Institut Fourier. 62 (5): 1819–1887. arXiv:0803.2821. doi:10,5802 / aif. 2737.