Ceny Martingale - Martingale pricing

Ceny Martingale je cenový přístup založený na pojmech martingale a neutralita rizika. Cenový přístup typu martingale je základním kamenem moderního kvantitativního financování a lze jej použít v různých oblastech deriváty smlouvy, např. možnosti, futures, úrokové deriváty, úvěrové deriváty, atd.

Na rozdíl od PDE přístup k tvorbě cen, vzorce pro stanovení cen martingale jsou ve formě očekávání, která mohou být efektivně řešena numericky pomocí a Monte Carlo přístup. Proto se při oceňování kontraktů s vysokou dimenzí, jako je koš opcí, dává přednost ceně Martingale. Na druhou stranu oceňování Smlouvy v americkém stylu je problematické a vyžaduje diskretizaci problému (aby to vypadalo jako Možnost Bermudan ) a teprve v roce 2001 F. A. Longstaff a E. S. Schwartz vyvinul praktickou metodu Monte Carlo pro stanovení cen amerických opcí.^[1]

Reprezentace teorie měření

Předpokládejme, že stav trhu může být reprezentován filtrovaný pravděpodobnostní prostor,${displaystyle (Omega, ({mathcal {F}} _ {t}) _ {tin [0, T]}, {ilde {mathbb {P}}})}$. Nechat ${displaystyle {S (t)} _ {tin [0, T]}}$ být v tomto prostoru stochastickým cenovým procesem. Jeden může ocenit derivátový cenný papír, ${displaystyle V (t, S (t))}$ podle filozofie žádné arbitráže jako,

${displaystyle D (t) V (t, S (t)) = {ilde {mathbb {E}}} [D (T) V (T, S (T)) | {mathcal {F}} _ {t} ], qquad dD (t) = - r (t) D (t) dt}$

kde ${displaystyle {ilde {mathbb {P}}}}$ je rizikově neutrální opatření.

${displaystyle (r (t)) _ {tin [0, T]}}$ je ${displaystyle {mathcal {F}} _ {t}}$-měřitelný (bezrizikový, případně stochastický) proces úrokové sazby.

Toho je dosaženo prostřednictvím téměř jistě replikace času derivátu ${displaystyle T}$ výplata pouze s využitím podkladových cenných papírů a bezrizikového peněžního trhu (MMA). Tito podkladoví lidé mají ceny, které jsou pozorovatelné a známé. Konkrétně jeden vytváří proces portfolia ${displaystyle {X (t)} _ {tin [0, T]}}$ v nepřetržitém čase, kde drží ${displaystyle Delta (t)}$ akcie podkladových akcií pokaždé ${displaystyle t}$, a ${displaystyle X (t) - Delta (t) S (t)}$ hotovost vydělávající bezrizikovou sazbu ${displaystyle r (t)}$. Portfolio se řídí stochastickou diferenciální rovnicí

${displaystyle dX (t) = Delta (t) dS (t) + r (t) (X (t) - delta (t) S (t)) dt}$

Jeden se poté pokusí přihlásit Girsanovova věta prvním výpočtem ${displaystyle {frac {d {ilde {mathbb {P}}}} {dmathbb {P}}}}$; toto je Derivát Radon – Nikodym s ohledem na pozorované rozdělení pravděpodobnosti trhu. Tím je zajištěno, že proces zlevněného replikujícího se portfolia je Martingale za podmínek neutrálních vůči riziku.

Pokud takový proces ${displaystyle Delta (t)}$ lze dobře definovat a zkonstruovat a poté zvolit ${displaystyle V (0, S (0)) = X (0)}$ bude mít za následek ${displaystyle {ilde {mathbb {P}}} [X (T) = V (T)] = 1}$, což okamžitě znamená, že se to stane ${displaystyle mathbb {P}}$-téměř jistě protože obě opatření jsou rovnocenná.

Viz také

• Brownův model finančních trhů
• Martingale (teorie pravděpodobnosti)

Reference