Luttinger – Kohnův model - Luttinger–Kohn model - Wikipedia

Příchuť k · p teorie poruch používá se pro výpočet struktury více, zdegenerovaných elektronických pásem hromadně a kvantová studna polovodiče. Metoda je zobecněním jednoho pásma k· p teorie.

V tomto modelu je vliv všech ostatních pásem zohledněn pomocí Löwdin metoda rušení.^[1]

Pozadí

Všechna pásma lze rozdělit do dvou tříd:

Třída A: šest valenčních pásem (těžká díra, lehká díra, oddělené pásmo a jejich protějšky) a dvě vodivé pásma.
Třída B: všechny ostatní kapely.

Metoda se soustředí na pásma v Třída A, a bere v úvahu Třída B pásma rušivě.

Můžeme napsat narušené řešení ${ displaystyle phi _ {} ^ {}}$ jako lineární kombinace neporušených vlastních států ${ displaystyle phi _ {i} ^ {(0)}}$ :

{ displaystyle phi = sum _ {n} ^ {A, B} a_ {n} phi _ {n} ^ {(0)}}

Za předpokladu, že jsou neporušené vlastní stavy ortonormalizovány, je vlastní rovnice:

{ displaystyle (E-H_ {mm}) a_ {m} = součet _ {n neq m} ^ {A} H_ {mn} a_ {n} + součet _ { alpha neq m} ^ { B} H_ {m alpha} a _ { alpha}}

,

kde

{ displaystyle H_ {mn} = int phi _ {m} ^ {(0) dagger} H phi _ {n} ^ {(0)} d ^ {3} mathbf {r} = E_ { n} ^ {(0)} delta _ {mn} + H_ {mn} ^ {'}}

.

Z tohoto výrazu můžeme napsat:

{ displaystyle a_ {m} = součet _ {n neq m} ^ {A} { frac {H_ {mn}} {E-H_ {mm}}} a_ {n} + součet _ { alfa neq m} ^ {B} { frac {H_ {m alpha}} {E-H_ {mm}}} a _ { alpha}}

,

kde první součet na pravé straně je nad stavy pouze ve třídě A, zatímco druhý součet je nad stavy ve třídě B. Protože nás zajímají koeficienty ${ displaystyle a_ {m}}$ pro m ve třídě A můžeme vyloučit ty ve třídě B iteračním postupem, abychom získali:

{ displaystyle a_ {m} = součet _ {n} ^ {A} { frac {U_ {mn} ^ {A} - delta _ {mn} H_ {mn}} {E-H_ {mm}} } a_ {n}}

,

{ displaystyle U_ {mn} ^ {A} = H_ {mn} + sum _ { alpha neq m} ^ {B} { frac {H_ {m alpha} H _ { alpha n}} {E -H _ { alpha alpha}}} + sum _ { alpha, beta neq m, n; alpha neq beta} { frac {H_ {m alpha} H _ { alpha beta} H _ { beta n}} {(E-H _ { alpha alpha}) (E-H _ { beta beta})}} + ldots}

Ekvivalentně pro ${ displaystyle a_ {n}}$ ( ${ displaystyle n v A}$ ):

{ displaystyle a_ {n} = součet _ {n} ^ {A} (U_ {mn} ^ {A} -E delta _ {mn}) a_ {n} = 0, m v A}

a

{ displaystyle a _ { gamma} = suma _ {n} ^ {A} { frac {U _ { gamma n} ^ {A} -H _ { gamma n} delta _ { gamma n}} { E-H _ { gamma gamma}}} a_ {n} = 0, gamma v B}

.

Když koeficienty ${ displaystyle a_ {n}}$ náležející do třídy A jsou určeny stejně ${ displaystyle a _ { gamma}}$ .

Schrödingerovy rovnice a základní funkce

The Hamiltonian včetně interakce spin-orbit lze zapsat jako:

{ displaystyle H = H_ {0} + { frac { hbar} {4m_ {0} ^ {2} c ^ {2}}} { bar { sigma}} cdot nabla V times mathbf {p}}

,

kde ${ displaystyle { bar { sigma}}}$ je Pauliho spinová matice vektor. Nahrazení do Schrödingerova rovnice získáváme

{ displaystyle Hu_ {n mathbf {k}} ( mathbf {r}) = left (H_ {0} + { frac { hbar} {m_ {0}}} mathbf {k} cdot mathbf { Pi} + { frac { hbar ^ {2} k ^ {2}} {4m_ {0} ^ {2} c ^ {2}}} nabla V times mathbf {p} cdot { bar { sigma}} right) u_ {n mathbf {k}} ( mathbf {r}) = E_ {n} ( mathbf {k}) u_ {n mathbf {k}} ( mathbf {r})}

,

kde

{ displaystyle mathbf { Pi} = mathbf {p} + { frac { hbar} {4m_ {0} ^ {2} c ^ {2}}} { bar { sigma}} krát nabla V}

a poruchu Hamiltonian lze definovat jako

{ displaystyle H '= { frac { hbar} {m_ {0}}} mathbf {k} cdot mathbf { Pi}.}

Nerušený Hamiltonian se týká systému spin-orbit na hranici pásma (pro k= 0). Na okraji pásma vodivé pásmo Bloch vlny vykazují symetrii podobnou s, zatímco stavy valenčních pásem jsou podobné p (3krát degenerované bez rotace). Označme tyto státy jako ${ displaystyle | S rangle}$ , a ${ displaystyle | X rangle}$ , ${ displaystyle | Y rangle}$ a ${ displaystyle | Z rangle}$ resp. Tyto Blochovy funkce lze znázornit jako periodické opakování atomových orbitalů, opakované v intervalech odpovídajících mřížkové vzdálenosti. Funkci Bloch lze rozšířit následujícím způsobem:

{ displaystyle u_ {n mathbf {k}} ( mathbf {r}) = sum _ {j '} ^ {A} a_ {j'} ( mathbf {k}) u_ {j'0} ( mathbf {r}) + sum _ { gamma} ^ {B} a _ { gamma} ( mathbf {k}) u _ { gamma 0} ( mathbf {r})}

,

kde j ' je ve třídě A a ${ displaystyle gamma}$ je ve třídě B. Lze zvolit základní funkce

{ displaystyle u_ {10} ( mathbf {r}) = u_ {el} ( mathbf {r}) = left | S { frac {1} {2}}, { frac {1} {2 }} right rangle = left | S uparrow right rangle}

{ displaystyle u_ {20} ( mathbf {r}) = u_ {SO} ( mathbf {r}) = left | { frac {1} {2}}, { frac {1} {2} } right rangle = { frac {1} { sqrt {3}}} | (X + iY) downarrow rangle + { frac {1} { sqrt {3}}} | Z uparrow zvonit}

{ displaystyle u_ {30} ( mathbf {r}) = u_ {lh} ( mathbf {r}) = left | { frac {3} {2}}, { frac {1} {2} } right rangle = - { frac {1} { sqrt {6}}} | (X + iY) downarrow rangle + { sqrt { frac {2} {3}}} | Z uparrow rangle}

{ displaystyle u_ {40} ( mathbf {r}) = u_ {hh} ( mathbf {r}) = left | { frac {3} {2}}, { frac {3} {2} } right rangle = - { frac {1} { sqrt {2}}} | (X + iY) uparrow rangle}

{ displaystyle u_ {50} ( mathbf {r}) = { bar {u}} _ {el} ( mathbf {r}) = left | S { frac {1} {2}}, - { frac {1} {2}} doprava rangle = - | S downarrow rangle}

{ displaystyle u_ {60} ( mathbf {r}) = { bar {u}} _ {SO} ( mathbf {r}) = left | { frac {1} {2}}, - { frac {1} {2}} right rangle = { frac {1} { sqrt {3}}} | (X-iY) uparrow rangle - { frac {1} { sqrt {3 }}} | Z downarrow rangle}

{ displaystyle u_ {70} ( mathbf {r}) = { bar {u}} _ {lh} ( mathbf {r}) = left | { frac {3} {2}}, - { frac {1} {2}} right rangle = { frac {1} { sqrt {6}}} | (X-iY) uparrow rangle + { sqrt { frac {2} {3 }}} | Z downarrow rangle}

{ displaystyle u_ {80} ( mathbf {r}) = { bar {u}} _ {hh} ( mathbf {r}) = left | { frac {3} {2}}, - { frac {3} {2}} right rangle = - { frac {1} { sqrt {2}}} | (X-iY) downarrow rangle}

.

Pomocí Löwdinovy metody je třeba vyřešit pouze následující problém vlastních čísel

{ displaystyle sum _ {j '} ^ {A} (U_ {jj'} ^ {A} -E delta _ {jj '}) a_ {j'} ( mathbf {k}) = 0,}

kde

{ displaystyle U_ {jj '} ^ {A} = H_ {jj'} + sum _ { gamma neq j, j '} ^ {B} { frac {H_ {j gamma} H _ { gamma j '}} {E_ {0} -E _ { gamma}}} = H_ {jj'} + sum _ { gamma neq j, j '} ^ {B} { frac {H_ {j gamma } ^ {'} H _ { gamma j'} ^ {'}} {E_ {0} -E _ { gamma}}}}

,

{ displaystyle H_ {j gamma} ^ {'} = left langle u_ {j0} right | { frac { hbar} {m_ {0}}} mathbf {k} cdot left ( mathbf {p} + { frac { hbar} {4m_ {0} c ^ {2}}} { bar { sigma}} times nabla V right) left | u _ { gamma 0} pravý rangle přibližně součet _ { alpha} { frac { hbar k _ { alpha}} {m_ {0}}} p_ {j gamma} ^ { alpha}.}

Druhé funkční období ${ displaystyle Pi}$ lze zanedbávat ve srovnání s obdobným výrazem s p namísto k. Podobně jako v případě jednoho pásma můžeme psát pro ${ displaystyle U_ {jj '} ^ {A}}$

{ displaystyle D_ {jj '} equiv U_ {jj'} ^ {A} = E_ {j} (0) delta _ {jj '} + sum _ { alpha beta} D_ {jj'} ^ { alpha beta} k _ { alpha} k _ { beta},}

{ displaystyle D_ {jj '} ^ { alpha beta} = { frac { hbar ^ {2}} {2m_ {0}}} left [ delta _ {jj'} delta _ { alpha beta} + sum _ { gamma} ^ {B} { frac {p_ {j gamma} ^ { alpha} p _ { gamma j '} ^ { beta} + p_ {j gamma} ^ { beta} p _ { gamma j '} ^ { alpha}} {m_ {0} (E_ {0} -E _ { gamma})}} right].}

Nyní definujeme následující parametry

{ displaystyle A_ {0} = { frac { hbar ^ {2}} {2m_ {0}}} + { frac { hbar ^ {2}} {m_ {0} ^ {2}}} součet _ { gamma} ^ {B} { frac {p_ {x gamma} ^ {x} p _ { gamma x} ^ {x}} {E_ {0} -E _ { gamma}}},}

{ displaystyle B_ {0} = { frac { hbar ^ {2}} {2m_ {0}}} + { frac { hbar ^ {2}} {m_ {0} ^ {2}}} součet _ { gamma} ^ {B} { frac {p_ {x gamma} ^ {y} p _ { gamma x} ^ {y}} {E_ {0} -E _ { gamma}}},}

{ displaystyle C_ {0} = { frac { hbar ^ {2}} {m_ {0} ^ {2}}} sum _ { gamma} ^ {B} { frac {p_ {x gamma } ^ {x} p _ { gamma y} ^ {y} + p_ {x gamma} ^ {y} p _ { gamma y} ^ {x}} {E_ {0} -E _ { gamma}}} ,}

a parametry struktury pásma (nebo Luttingerovy parametry) lze definovat jako

{ displaystyle gamma _ {1} = - { frac {1} {3}} { frac {2m_ {0}} { hbar ^ {2}}} (A_ {0} + 2B_ {0}) ,}

{ displaystyle gamma _ {2} = - { frac {1} {6}} { frac {2m_ {0}} { hbar ^ {2}}} (A_ {0} -B_ {0}) ,}

{ displaystyle gamma _ {3} = - { frac {1} {6}} { frac {2m_ {0}} { hbar ^ {2}}} C_ {0},}

Tyto parametry velmi úzce souvisí s efektivní hmotností děr v různých valenčních pásmech. ${ displaystyle gamma _ {1}}$ a ${ displaystyle gamma _ {2}}$ popište spojení ${ displaystyle | X rangle}$ , ${ displaystyle | Y rangle}$ a ${ displaystyle | Z rangle}$ státy do ostatních států. Třetí parametr ${ displaystyle gamma _ {3}}$ se týká anizotropie struktury energetického pásma kolem ${ displaystyle Gamma}$ bod kdy ${ displaystyle gamma _ {2} neq gamma _ {3}}$ .

Explicitní Hamiltonova matice

Luttinger-Kohn Hamiltonian ${ displaystyle mathbf {D_ {jj '}}}$ lze explicitně zapsat jako matici 8X8 (s přihlédnutím k 8 pásmům - 2 vedení, 2 těžké díry, 2 lehké díry a 2 oddělené)

{ displaystyle mathbf {H} = left ({ begin {array} {cccccccc} E_ {el} & P_ {z} & { sqrt {2}} P_ {z} & - { sqrt {3}} P _ {+} & 0 & { sqrt {2}} P _ {-} & P _ {-} & 0 P_ {z} ^ { dagger} & P + Delta & { sqrt {2}} Q ^ { dagger} & -S ^ { dagger} / { sqrt {2}} & - { sqrt {2}} P _ {+} ^ { dagger} & 0 & - { sqrt {3/2}} S & - { sqrt { 2}} R E_ {el} & P_ {z} & { sqrt {2}} P_ {z} & - { sqrt {3}} P _ {+} & 0 & { sqrt {2}} P _ {- } & P _ {-} & 0 E_ {el} & P_ {z} & { sqrt {2}} P_ {z} & - { sqrt {3}} P _ {+} & 0 & { sqrt {2}} P_ {-} & P _ {-} & 0 E_ {el} & P_ {z} & { sqrt {2}} P_ {z} & - { sqrt {3}} P _ {+} & 0 & { sqrt {2} } P _ {-} & P _ {-} & 0 E_ {el} & P_ {z} & { sqrt {2}} P_ {z} & - { sqrt {3}} P _ {+} & 0 & { sqrt { 2}} P _ {-} & P _ {-} & 0 E_ {el} & P_ {z} & { sqrt {2}} P_ {z} & - { sqrt {3}} P _ {+} & 0 & { sqrt {2}} P _ {-} & P _ {-} & 0 E_ {el} & P_ {z} & { sqrt {2}} P_ {z} & - { sqrt {3}} P _ {+} & 0 & { sqrt {2}} P _ {-} & P _ {-} a 0 end {array}} right)}

souhrn

Reference

^ S.L. Chuang (1995). Fyzika optoelektronických zařízení (První vydání). New York: Wiley. str. 124–190. ISBN 978-0-471-10939-6. OCLC 31134252.

[Chuang1-1] S.L. Chuang (1995). Fyzika optoelektronických zařízení (První vydání). New York: Wiley. str. 124–190. ISBN 978-0-471-10939-6. OCLC 31134252.

[1]