Lukacssova věta o poměru a součtu nezávislosti - Lukacss proportion-sum independence theorem - Wikipedia

v statistika, Lukacsova věta o poměru a součtu nezávislosti je výsledek, který se používá při studiu proporcí, zejména Dirichletova distribuce. Je pojmenován po Eugene Lukacs.^[1]

Věta

Li Y₁ a Y₂ jsou nedegenerovaní, nezávislý náhodné proměnné, pak náhodné proměnné

${ displaystyle W = Y_ {1} + Y_ {2} { text {and}} P = { frac {Y_ {1}} {Y_ {1} + Y_ {2}}}}$

jsou nezávisle distribuovány kdyby a jen kdyby oba Y₁ a Y₂ mít gama distribuce se stejným parametrem měřítka.

Důsledek

Předpokládat Y _i, i = 1, ..., k být nedegenerované, nezávislé, pozitivní náhodné proměnné. Pak každý z k - 1 náhodné proměnné

${ displaystyle P_ {i} = { frac {Y_ {i}} { součet _ {i = 1} ^ {k} Y_ {i}}}}$

je nezávislý na

${ displaystyle W = součet _ {i = 1} ^ {k} Y_ {i}}$

jen a jen pokud všechny Y _i mít gama distribuce se stejným parametrem měřítka.^[2]

Reference

• Ng, W. N .; Tian, ​​G-L; Tang, M-L (2011). Dirichlet a související distribuce. John Wiley & Sons, Ltd. ISBN  978-0-470-68819-9. strana 64. Lukacsova věta o podílu a součtu nezávislosti a důsledek s důkazem.