Lineární konvoluce - Line integral convolution

LIC vizualizace tokového pole.

v vědecká vizualizace, lineární konvoluce (LIC) je technika k vizualizaci vektorového pole, jako je pohyb tekutiny, jako je například pohyb větru v a tornádo. LIC navrhl Brian Cabral a Leith Leedom.^[1] Ve srovnání s jinými technikami založenými na integraci, které počítají siločáry vstupního vektorového pole, má LIC tu výhodu, že jsou zobrazeny všechny strukturní vlastnosti vektorového pole, aniž by bylo nutné přizpůsobovat počáteční a koncový bod siločar konkrétního vektorového pole . LIC je metoda z advekce textury rodina.

Zásada

Vizualizace LIC s barvou označující velikost rychlosti.

Intuice

Intuitivně tok a vektorové pole v nějaké doméně je vizualizován přidáním statického náhodného vzoru zdrojů tmavé a světlé barvy. Jak tok prochází kolem zdrojů, každá část kapaliny zachytí část zdrojové barvy a zprůměruje ji barvou, kterou již získala, podobným způsobem jako házení barvy do řeky. Výsledkem je náhodná pruhovaná struktura, kde body podél stejného proudu mají tendenci mít podobnou barvu.

Algoritmus

Algoritmicky začíná technika generováním náhodného pole v oblasti vektorového pole obrázek úrovně šedé v požadovaném výstupním rozlišení. Pak pro každý pixel na tomto obrázku dopředu a dozadu usměrnit pevné délka oblouku se vypočítá. Hodnota přiřazená aktuálnímu pixelu je vypočítána pomocí a konvoluce vhodné konvoluční jádro s úrovněmi šedé všech pixelů ležících na segmentu této linie. Tím se vytvoří obrázek LIC úrovně šedé.

Matematický popis

Přestože je vstupní vektorové pole a výsledný obraz diskretizovány, vyplatí se na něj dívat z nepřetržitého hlediska.^[2] Nechat ${ displaystyle mathbf {v}}$ být vektorové pole dané v nějaké doméně ${ displaystyle Omega}$. I když je vstupní vektorové pole obvykle diskretizováno, pole považujeme ${ displaystyle mathbf {v}}$ jak je definováno v každém bodě ${ displaystyle Omega}$, tj. předpokládáme interpolaci. Streamlines, nebo obecněji siločáry, jsou tečny k vektorovému poli v každém bodě. Končí buď na hranici ${ displaystyle Omega}$ nebo v kritických bodech, kde ${ displaystyle mathbf {v} = mathbf {0}}$. Z důvodu jednoduchosti jsou následující kritické body a hranice ignorovány. Polní čára ${ displaystyle { boldsymbol { sigma}}}$, parametrizováno délkou oblouku ${ displaystyle s}$, je definován jako ${ displaystyle { frac {d { boldsymbol { sigma}} (s)} {ds}} = { frac { mathbf {v} ({ boldsymbol { sigma}} (s))} {| mathbf {v} ({ boldsymbol { sigma}} (y))}}}$. Nechat ${ displaystyle { boldsymbol { sigma}} _ { mathbf {r}} (y)}$ být siločára, která prochází bodem ${ displaystyle mathbf {r}}$ pro ${ displaystyle s = 0}$. Poté hodnota šedé obrázku na ${ displaystyle mathbf {r}}$ je nastaven na

${ displaystyle D ( mathbf {r}) = int _ {- L / 2} ^ {L / 2} k (s) N ({ boldsymbol { sigma}} _ { mathbf {r}} ( s)) ds}$

kde ${ displaystyle k (s)}$ je konvoluční jádro, ${ displaystyle N ( mathbf {r})}$ je obraz šumu a ${ displaystyle L}$ je délka segmentu polní čáry, která je následována.

${ displaystyle D ( mathbf {r})}$ musí být vypočítán pro každý pixel na obrázku LIC. Pokud je provedeno naivně, je to docela drahé. Nejprve je třeba vypočítat siločáry pomocí a numerická metoda řešení obyčejných diferenciálních rovnic, jako Metoda Runge – Kutta, a pak pro každý pixel musí být vypočítána konvoluce podél segmentu silové čáry. Výpočet lze výrazně urychlit opětovným použitím částí již vypočítaných siločar se specializací na funkci pole jako konvoluční jádro ${ displaystyle k (s)}$ a vyhnout se nadbytečným výpočtům během konvoluce.^[2] Výslednou rychlou metodu LIC lze zobecnit na konvoluční jádra, která jsou libovolnými polynomy.^[3]

Všimněte si, že ${ displaystyle Omega}$ nemusí to být 2D doména: metoda je použitelná pro vícerozměrné domény pomocí vícerozměrných šumových polí. Vizualizace výškové textury LIC je však problematická; jedním ze způsobů je použití interaktivního průzkumu s 2D řezy, které jsou ručně umístěny a otočeny. Doména ${ displaystyle Omega}$ nemusí být ani plochý; texturu LIC lze vypočítat také pro libovolně tvarované 2D povrchy ve 3D prostoru.^[4]

Výstupní obraz bude obvykle nějakým způsobem zbarven. Typicky nějaké skalární pole v ${ displaystyle Omega}$ se používá, stejně jako délka vektoru, k určení odstínu, zatímco obraz LIC v šedé stupnici určuje jas barvy.

Různé možnosti konvolučních jader a náhodný šum vytvářejí různé textury: například růžový šum vytváří zakalený vzor, ​​kde oblasti s vyšším průtokem vynikají jako rozmazání, vhodné pro vizualizaci počasí. Další zdokonalení konvoluce mohou zlepšit kvalitu obrazu.^[5]

Animovaná verze

Ilustrace, jak animovat. Nahoře: Normální Boxový filtr (průměrný). Uprostřed: Sinusový filtr v ${ displaystyle t}$. Dole: Sinusový filtr na ${ displaystyle t + delta t}$

Obrázky LIC lze animovat pomocí jádra, které se časem mění. Ukázky v konstantní době ze streamline by se stále používaly, ale namísto průměrování všech pixelů v streamline se statickým jádrem, zvlněné jádro vytvořené z periodické funkce vynásobené a Funkce Hann funguje jako okno (aby se zabránilo artefaktům). Periodická funkce se poté posune podél období, aby se vytvořila animace.

Časově proměnná vektorová pole

Pro časově závislá vektorová pole byla navržena varianta (UFLIC), která udržuje koherenci animace toku.^[6]

Paralelní verze

Protože výpočet obrazu LIC je drahý, ale ze své podstaty paralelní, byl také paralelizován^[7] a díky dostupnosti implementací založených na GPU se stala interaktivní na počítačích PC. Také pro UFLIC byla představena interaktivní implementace založená na GPU.^[8]

Použitelnost

I když obraz LIC vyjadřuje orientaci vektorů pole, neznamená to jejich směr; u stacionárních polí to lze napravit animací. Základní obrázky LIC bez barev a animací neukazují délku vektorů (ani sílu pole). Pokud mají být tyto informace předány, jsou obvykle barevně kódovány; alternativně lze použít animaci.^[1][2]

Při uživatelských testech bylo shledáno, že LIC je zvláště vhodný pro identifikaci kritických bodů.^[9] S dostupností vysoce výkonných implementací založených na GPU již není k dispozici dřívější nevýhoda omezené interaktivity.

Reference

externí odkazy

• Výukový program obsahující spoustu ukázkových obrázků
• Výukový program Siggraph 1997 o rychlé metodě LIC