Lež bialgebroid - Lie bialgebroid

A Lež bialgebroid je matematická struktura v oblasti neriemannovské diferenciální geometrie. Stručně řečeno, Lie bialgebroid jsou dva kompatibilní Lež algebroidy definované na duálních vektorových svazcích. Tvoří verzi vektorového svazku a Lež bialgebra.

Definice

Předběžné představy

Pamatujte, že a Lež algebroid je definována jako symetrická operace zešikmení [.,.] v řezech Γ (A) a vektorový svazek A → M přes hladké potrubí M společně s morfismem vektorového svazku ρ: A → TM podléhá pravidlu Leibniz

${ displaystyle [ phi, f cdot psi] = rho ( phi) [f] cdot psi + f cdot [ phi, psi],}$

a Jacobiho identita

${ displaystyle [ phi, [ psi _ {1}, psi _ {2}]] = [[ phi, psi _ {1}], psi _ {2}] + [ psi _ { 1}, [ phi, psi _ {2}]]}}$

kde Φ, ψ_k jsou sekce A a F je plynulá funkce na M.

Ložní závorka [.,.]_A lze rozšířit na multivektorová pole Γ (⋀A) odstupňované symetricky podle Leibnizova pravidla

${ displaystyle [ Phi wedge Psi, mathrm {X}] _ {A} = Phi wedge [ Psi, mathrm {X}] _ {A} + (- 1) ^ {| Psi | (| mathrm {X} | -1)} [ Phi, mathrm {X}] _ {A} klín Psi}$

pro homogenní multivektorová pole Φ, Ψ, Χ.

The Ležový algebroidový diferenciál je R-lineární operátor d_A na A-formuje Ω_A(M) = Γ (⋀A^*) stupně 1 podléhající Leibnizově pravidlu

${ displaystyle d_ {A} ( alpha wedge beta) = (d_ {A} alpha) wedge beta + (- 1) ^ {| alpha |} alpha wedge d_ {A} beta }$

pro A-formuláře α a β. Je jedinečně charakterizován podmínkami

${ displaystyle (d_ {A} f) ( phi) = rho ( phi) [f]}$

a

${ displaystyle (d_ {A} alpha) [ phi, psi] = rho ( phi) [ alpha ( psi)] - rho ( psi) [ alpha ( phi)] - alfa [ phi, psi]}$

pro funkce F na M, A-1-formy α∈Γ (A^*) a Φ, ψ části A.

Definice

Lie Bialgebroid jsou dva Lie Algebroids (A, ρ_A,[.,.]_A) a (A^*, ρ_*,[.,.]_*) na duálních vektorových svazcích A → M a A^*→M kompatibilita

${ displaystyle d _ {*} [ phi, psi] _ {A} = [d _ {*} phi, psi] _ {A} + [ phi, d _ {*} psi] _ {A} }$

pro všechny sekce Φ, ψ z A.Tady d_* označuje Lieův algebroidový diferenciál z A^* který také pracuje na multivektorových polích Γ (∧A).

Symetrie definice

Je možné ukázat, že definice je symetrická A a A^*, tj. (A,A^*) je Lie bialgebroid iff (A^*,A) je.

Příklady

1. A Lež bialgebra jsou dva Lež algebry (G,[.,.]_G) a (G^*,[.,.]_*) na duálních vektorových prostorech G a G^* takové, že Chevalley – Eilenbergův diferenciál δ_* je odvozením G-Závorka.

2. A Poissonovo potrubí (M, π) přirozeně vznikne Lie Bialgebroid TM (s držákem komutátoru tečných vektorových polí) a T^*M s Lieovým závorkou vyvolanou Poissonovou strukturou. The T^*M-diferenciální je d_*= [π,.] a kompatibilita pak vychází z Jacobiho identity Schoutenovy závorky.

Infinitezimální verze Poissonova grupoidu

Je dobře známo, že nekonečně malá verze a Leží grupo je Lie algebroid. (Jako zvláštní případ může být nekonečně malá verze a Lež skupina je Lieova algebra.) Proto je možné se zeptat, které struktury je třeba rozlišit, aby bylo možné získat Lieův bialgebroid.

Definice Poissonova grupoidu

A Poissonův grupoid je Lieův grupoid (G⇉M) společně s Poissonovou strukturou π zapnutou G takové, že multiplikační graf m ⊂ G×G×(G,−π) je koizotropní. Příkladem skupiny Poisson Lie groupoid je skupina Poisson Lie (kde M= pt, jen bod). Dalším příkladem je a symplektický grupoid (kde Poissonova struktura není zdegenerována TG).

Diferenciace struktury

Vzpomeňte si na konstrukci Lieova algebroidu z Lieova grupoidu. Vezmeme t-tangentní vlákna (nebo ekvivalentně s-tangentní vlákna) a zvážíme jejich vektorový svazek stažený zpět do základního potrubí M. Část tohoto vektorového svazku lze identifikovat pomocí a G-invariantní pole t-vektoru zapnuto G které tvoří ležovou algebru s ohledem na držák komutátoru TG.

Bereme tedy Lieův algebroid A → M Poissonova grupoidu. Je možné ukázat, že Poissonova struktura indukuje vláknově lineární Poissonovu strukturu A. Analogicky ke konstrukci kotangensu Lieův algebroid Poissonova potrubí existuje struktura Lieho algebroidu A^* vyvolané touto Poissonovou strukturou. Analogicky k případu Poissonova potrubí lze to ukázat A a A^* tvoří Lie bialgebroid.

Double of a Lie bialgebroid a superlang of Lie bialgebroids

Pro Lie bialgebroids (G,G^*) existuje pojem Maninových trojic, tj. c =G+G^* může být obdařen strukturou Lieovy algebry takovou G a G^* jsou subalgebry ac obsahuje reprezentaci G na G^*, naopak. Struktura součtu je spravedlivá

${ displaystyle [X + alpha, Y + beta] = [X, Y] _ {g} + mathrm {ad} _ { alpha} Y- mathrm {ad} _ { beta} X + [ alpha, beta] _ {*} + mathrm {ad} _ {X} ^ {*} beta - mathrm {ad} _ {Y} ^ {*} alpha}$.

Courant algebroids

Ukazuje se, že naivní zobecnění Lieových algebroidů už lže algebroidům nedává. Místo toho je třeba upravit buď Jacobiho identitu, nebo porušit symetrii zešikmení, což vede k Courant algebroids.^[1]

Superjazyk

Vhodný superjazyk Lieova algebroidu A je ΠA, nadčlověk jehož prostor (super) funkcí je A-formuláře. V tomto prostoru lze Liege algebroid kódovat pomocí diferenciálu Lieho algebroidu, což je jen liché vektorové pole.

Jako první odhad super-realizace Lie Bialgebroid (A,A^*) mělo by ΠA+ΠA^*. Ale bohužel d_A + d_*|ΠA+ΠA^* není rozdíl, v zásadě proto A+A^* není Lie Algebroid. Místo toho použijte větší Rozdělovač stupně N T^*[2] A [1] = T^*[2] A^*[1] na které můžeme zvednout d_A ad_* jako liché Hamiltonovské vektorové pole, pak jejich součet druhé mocniny na 0 iff (A,A^*) je Lie bialgebroid.

Reference

• C. Albert a P. Dazord: Théorie des groupoïdes symlectiques: Chapitre II, Groupoïdes symplectiques. (in Publications du Département de Mathématiques de l’Université Claude Bernard, Lyon I, nouvelle série, str. 27–99, 1990)
• Y. Kosmann-Schwarzbach: Lie Bialgebroid z Poisson – Nijenhuis potrubí. (Lett. Math. Phys., 38: 421–428, 1996)
• K. Mackenzie, P. Xu: Integration of Lie bialgebroids (1997),
• K. Mackenzie, P. Xu: Lie bialgebroids and Poisson groupoids (Duke J. Math, 1994)
• A. Weinstein: Symplectic groupoids and Poisson manifolds (AMS Bull, 1987),