Leibnizův harmonický trojúhelník - Leibniz harmonic triangle
The Leibnizův harmonický trojúhelník je trojúhelníkový uspořádání jednotkové zlomky ve kterém nejvzdálenější úhlopříčky sestávají z reciproční čísel řádků a každá vnitřní buňka je buňka šikmo nad a nalevo minus buňka nalevo. Abych to řekl algebraicky, L(r, 1) = 1/r (kde r je číslo řádku, počínaje od 1, a C je číslo sloupce, nikdy více než r) a L(r, C) = L(r - 1, C - 1) − L(r, C - 1).
Hodnoty
Prvních osm řádků je:
Jmenovatelé jsou uvedeni v (pořadí A003506 v OEIS ), zatímco čitatelé jsou všechny 1 s.
Podmínky
Podmínky jsou dány opakováním
a výslovně
Kdeje binomický koeficient[1]
Vztah k Pascalovu trojúhelníku
Vzhledem k tomu, že každý záznam v Pascalův trojúhelník je součet dvou položek ve výše uvedeném řádku, každá položka v Leibnizově trojúhelníku je součtem dvou položek v řádku níže to. Například v 5. řádku je položka (1/30) součtem dvou (1/60) s v 6. řádku.
Stejně jako Pascalův trojúhelník lze vypočítat pomocí binomických koeficientů, může být také Leibnizův: . Dále lze z tohoto trojúhelníku počítat položky Pascal: "Výrazy v každém řádku jsou počátečním členem děleným odpovídajícími položkami trojúhelníku Pascal."[2] Ve skutečnosti se každá úhlopříčka vztahuje k odpovídajícím úhlopříčkám trojúhelníku Pascal: První Leibnizova úhlopříčka se skládá z 1 / (1x přirozená čísla), druhá z 1 / (2x trojúhelníková čísla), třetí z 1 / (3x čtyřboká čísla) atd. .
Vlastnosti
Pokud si vezmeme jmenovatele nth řádek a přidá je, pak bude výsledek stejný . Například pro 3. řádek máme 3 + 6 + 3 = 12 = 3 脳 22.
My máme
Reference
- ^ W., Weisstein, Eric. „Leibnizův harmonický trojúhelník“. mathworld.wolfram.com. Citováno 2018-04-10.
- ^ Wells, David (1986). Slovník tučňáků zvědavých a zajímavých čísel, str. 98. ISBN 978-0-14-026149-3.