Funkce Lefschetz zeta - Lefschetz zeta function

v matematika, Lefschetz funkce zeta je nástroj používaný v topologických periodických a pevný bod teorie a dynamické systémy. Vzhledem k průběžná mapa ${ displaystyle f dvojtečka X až X}$ , funkce zeta je definována jako formální řada

{ displaystyle zeta _ {f} (z) = exp left ( sum _ {n = 1} ^ { infty} L (f ^ {n}) { frac {z ^ {n}} { n}} vpravo),}

kde ${ displaystyle L (f ^ {n})}$ je Lefschetzovo číslo z ${ displaystyle n}$ -th opakovat z ${ displaystyle f}$ . Tato funkce zeta je v topologické periodické teorii bodů důležitá, protože se jedná o jediný invariant obsahující informace o všech iteracích ${ displaystyle f}$ .

Příklady

Mapa identity zapnutá ${ displaystyle X}$ má funkci Lefschetz zeta

{ displaystyle { frac {1} {(1-t) ^ { chi (X)}}},}

kde ${ displaystyle chi (X)}$ je Eulerova charakteristika z ${ displaystyle X}$ , tj. Lefschetzovo číslo mapy identity.

Pro méně triviální příklad pojďme ${ displaystyle X = S ^ {1}}$ být jednotkový kruh a nechte ${ displaystyle f colon S ^ {1} to S ^ {1}}$ být odrazem v X-os, to znamená, ${ displaystyle f ( theta) = - theta}$ . Pak ${ displaystyle f}$ má Lefschetz číslo 2, zatímco ${ displaystyle f ^ {2}}$ je mapa identity, která má Lefschetzovo číslo 0. Podobně všechny liché iteráty mají Lefschetzovo číslo 2, zatímco všechny sudé iteráty mají Lefschetzovo číslo 0. Proto je funkce zeta ${ displaystyle f}$ je

{ displaystyle { begin {aligned} zeta _ {f} (t) & = exp left ( sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {2t ^ {2n + 1}} {2n + 1}} right) & = exp left ( left {2 sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {t ^ {n}} {n}} right } - left {2 sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {t ^ {2n}} {2n}} right } right) & = exp left (-2 log (1-t) + log (1-t ^ {2}) right) & = { frac {1-t ^ {2}} {(1-t) ^ {2}}} & = { frac {1 + t} {1-t}} end {zarovnáno}}}

Vzorec

Li F je spojitá mapa na kompaktním potrubí X dimenze n (nebo obecněji jakýkoli kompaktní mnohostěn), funkce zeta je dána vzorcem

{ displaystyle zeta _ {f} (t) = prod _ {i = 0} ^ {n} det (1-tf _ { ast} | H_ {i} (X, mathbf {Q})) ^ {(- 1) ^ {i + 1}}.}

Jde tedy o racionální funkci. Polynomy vyskytující se v čitateli a jmenovateli jsou v podstatě charakteristické polynomy mapy indukované F na různých homologických prostorech.

Připojení

Tato generující funkce je v podstatě algebraický forma Funkce Artin – Mazur zeta, což dává geometrický informace o pevných a pravidelných bodech F.

Viz také

Reference

Fel'shtyn, Alexander (2000), „Dynamické funkce zeta, Nielsenova teorie a Reidemeisterova torze“, Monografie Americké matematické společnosti, 147 (699), arXiv:chao-dyn / 9603017, PAN 1697460CS1 maint: formát MR (odkaz)