Laguerrova transformace - Laguerre transform Nesmí být zaměňována s Laguerrovy transformace.V matematice Laguerrova transformace je integrální transformace pojmenoval podle matematika Edmond Laguerre, který používá zobecněné Laguerrovy polynomy L n α ( X ) { displaystyle L_ {n} ^ { alpha} (x)} jako jádra transformace.[1][2][3][4]Laguerreova transformace funkce F ( X ) { displaystyle f (x)} je L { F ( X ) } = F ~ α ( n ) = ∫ 0 ∞ E − X X α L n α ( X ) F ( X ) d X { displaystyle L {f (x) } = { tilde {f}} _ { alpha} (n) = int _ {0} ^ { infty} e ^ {- x} x ^ { alpha} L_ {n} ^ { alpha} (x) f (x) dx}Inverzní Laguerreova transformace je dána vztahem L − 1 { F ~ α ( n ) } = F ( X ) = ∑ n = 0 ∞ ( n + α n ) − 1 1 Γ ( α + 1 ) F ~ α ( n ) L n α ( X ) { displaystyle L ^ {- 1} {{ tilde {f}} _ { alpha} (n) } = f (x) = součet _ {n = 0} ^ { infty} { binom {n + alpha} {n}} ^ {- 1} { frac {1} { Gamma ( alpha +1)}} { tilde {f}} _ { alpha} (n) L_ {n} ^ { alpha} (x)}Některé Laguerreovy transformační páry F ( X ) { displaystyle f (x) ,} F ~ α ( n ) { displaystyle { tilde {f}} _ { alpha} (n) ,} X A − 1 , A > 0 { displaystyle x ^ {a-1}, a> 0 ,} Γ ( A + α ) Γ ( n − A + 1 ) n ! Γ ( 1 − A ) { displaystyle { frac { Gamma (a + alpha) Gamma (n-a + 1)} {n! Gamma (1-a)}}} E − A X , A > − 1 { displaystyle e ^ {- ax}, a> -1 ,} Γ ( n + α + 1 ) A n n ! ( A + 1 ) n + α + 1 { displaystyle { frac { Gamma (n + alpha +1) a ^ {n}} {n! (a + 1) ^ {n + alpha +1}}}} hřích A X , A > 0 , α = 0 { displaystyle sin ax, a> 0, alpha = 0 ,} A n ( 1 + A 2 ) n + 1 2 hřích [ n opálení − 1 1 A + opálení − 1 ( − A ) ] { displaystyle { frac {a ^ {n}} {(1 + a ^ {2}) ^ { frac {n + 1} {2}}}} sin left [n tan ^ {- 1 } { frac {1} {a}} + tan ^ {- 1} (- a) vpravo]} cos A X , A > 0 , α = 0 { displaystyle cos sekera, a> 0, alfa = 0 ,} A n ( 1 + A 2 ) n + 1 2 cos [ n opálení − 1 1 A + opálení − 1 ( − A ) ] { displaystyle { frac {a ^ {n}} {(1 + a ^ {2}) ^ { frac {n + 1} {2}}}} cos left [n tan ^ {- 1 } { frac {1} {a}} + tan ^ {- 1} (- a) vpravo]} L m α ( X ) { displaystyle L_ {m} ^ { alpha} (x) ,} ( n + α n ) Γ ( α + 1 ) δ m n { displaystyle { binom {n + alpha} {n}} Gamma ( alpha +1) delta _ {mn}} E − A X L m α ( X ) { displaystyle e ^ {- ax} L_ {m} ^ { alpha} (x) ,} Γ ( n + α + 1 ) Γ ( m + α + 1 ) n ! m ! Γ ( α + 1 ) ( A − 1 ) n − m + α + 1 A n + m + 2 α + 2 2 F 1 ( n + α + 1 ; m + α + 1 α + 1 ; 1 A 2 ) { displaystyle { frac { Gamma (n + alpha +1) Gamma (m + alpha +1)} {n! m! Gamma ( alpha +1)}} { frac {(a-1) ^ {n-m + alpha +1}} {a ^ {n + m + 2 alpha +2}}} {} _ {2} F_ {1} left (n + alpha +1; { frac { m + alpha +1} { alpha +1}}; { frac {1} {a ^ {2}}} vpravo)}[5] F ( X ) X β − α { displaystyle f (x) x ^ { beta - alpha} ,} ∑ m = 0 n ( m ! ) − 1 ( α − β ) m L n − m β ( X ) { displaystyle sum _ {m = 0} ^ {n} (m!) ^ {- 1} ( alpha - beta) _ {m} L_ {n-m} ^ { beta} (x)} E X X − α Γ ( α , X ) { displaystyle e ^ {x} x ^ {- alfa} gama ( alpha, x) ,} ∑ n = 0 ∞ ( n + α n ) Γ ( α + 1 ) n + 1 { displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { binom {n + alpha} {n}} { frac { Gamma ( alpha +1)} {n + 1}}} X β , β > 0 { displaystyle x ^ { beta}, beta> 0 ,} Γ ( α + β + 1 ) ∑ n = 0 ∞ ( n + α n ) ( − β ) n Γ ( α + 1 ) Γ ( n + α + 1 ) { displaystyle Gamma ( alpha + beta +1) sum _ {n = 0} ^ { infty} { binom {n + alpha} {n}} (- beta) _ {n} { frac { Gamma ( alpha +1)} { Gamma (n + alpha +1)}}} ( 1 − z ) − ( α + 1 ) exp ( X z z − 1 ) , | z | < 1 , α ≥ 0 { displaystyle (1-z) ^ {- ( alfa +1)} exp left ({ frac {xz} {z-1}} right), | z | <1, alpha geq 0 ,} ∑ n = 0 ∞ ( n + α n ) Γ ( α + 1 ) z n { displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { binom {n + alpha} {n}} gama ( alpha +1) z ^ {n}} ( X z ) − α / 2 E z J α [ 2 ( X z ) 1 / 2 ] , | z | < 1 , α ≥ 0 { displaystyle (xz) ^ {- alfa / 2} e ^ {z} J _ { alpha} doleva [2 (xz) ^ {1/2} doprava], | z | <1, alfa geq 0 ,} ∑ n = 0 ∞ ( n + α n ) Γ ( α + 1 ) Γ ( n + α + 1 ) z n { displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { binom {n + alpha} {n}} { frac { Gamma ( alpha +1)} { Gamma (n + alpha +1 )}} z ^ {n}} d d X F ( X ) { displaystyle { frac {d} {dx}} f (x) ,} F ~ α ( n ) − α ∑ k = 0 n F ~ α − 1 ( k ) + ∑ k = 0 n − 1 F ~ α ( k ) { displaystyle { tilde {f}} _ { alpha} (n) - alpha sum _ {k = 0} ^ {n} { tilde {f}} _ { alpha -1} (k) + sum _ {k = 0} ^ {n-1} { tilde {f}} _ { alpha} (k)} X d d X F ( X ) , α = 0 { displaystyle x { frac {d} {dx}} f (x), alpha = 0 ,} − ( n + 1 ) F ~ 0 ( n + 1 ) + n F ~ 0 ( n ) { displaystyle - (n + 1) { tilde {f}} _ {0} (n + 1) + n { tilde {f}} _ {0} (n)} ∫ 0 X F ( t ) d t , α = 0 { displaystyle int _ {0} ^ {x} f (t) dt, alpha = 0 ,} F ~ 0 ( n ) − F ~ 0 ( n − 1 ) { displaystyle { tilde {f}} _ {0} (n) - { tilde {f}} _ {0} (n-1)} E X X − α d d X [ E − X X α + 1 d d X ] F ( X ) { displaystyle e ^ {x} x ^ {- alpha} { frac {d} {dx}} vlevo [e ^ {- x} x ^ { alpha +1} { frac {d} {dx }} vpravo] f (x) ,} − n F ~ α ( n ) { displaystyle -n { tilde {f}} _ { alpha} (n)} { E X X − α d d X [ E − X X α + 1 d d X ] } k F ( X ) { displaystyle left {e ^ {x} x ^ {- alpha} { frac {d} {dx}} left [e ^ {- x} x ^ { alpha +1} { frac { d} {dx}} doprava] doprava } ^ {k} f (x) ,} ( − 1 ) k n k F ~ α ( n ) { displaystyle (-1) ^ {k} n ^ {k} { tilde {f}} _ { alpha} (n)} L n α ( X ) , α > − 1 { displaystyle L_ {n} ^ { alpha} (x), alfa> -1 ,} Γ ( n + α + 1 ) n ! { displaystyle { frac { Gamma (n + alpha +1)} {n!}}} X L n α ( X ) , α > − 1 { displaystyle xL_ {n} ^ { alpha} (x), alpha> -1 ,} Γ ( n + α + 1 ) n ! ( 2 n + 1 + α ) { displaystyle { frac { Gamma (n + alpha +1)} {n!}} (2n + 1 + alpha)} 1 π ∫ 0 ∞ E − t F ( t ) d t ∫ 0 π E X t cos θ cos ( X t hřích θ ) G ( X + t − 2 X t cos θ ) d θ , α = 0 { displaystyle { frac {1} { pi}} int _ {0} ^ { infty} e ^ {- t} f (t) dt int _ {0} ^ { pi} e ^ { { sqrt {xt}} cos theta} cos ({ sqrt {xt}} sin theta) g (x + t-2 { sqrt {xt}} cos theta) d theta, alpha = 0 ,} F ~ 0 ( n ) G ~ 0 ( n ) { displaystyle { tilde {f}} _ {0} (n) { tilde {g}} _ {0} (n)} Γ ( n + α + 1 ) π Γ ( n + 1 ) ∫ 0 ∞ E − t t α F ( t ) d t ∫ 0 π E − X t cos θ hřích 2 α θ G ( X + t + 2 X t cos θ ) J α − 1 / 2 ( X t hřích θ ) [ ( X t hřích θ ) / 2 ] α − 1 / 2 d θ { displaystyle { frac { Gamma (n + alpha +1)} {{ sqrt { pi}} Gamma (n + 1)}} int _ {0} ^ { infty} e ^ {- t} t ^ { alpha} f (t) dt int _ {0} ^ { pi} e ^ {- { sqrt {xt}} cos theta} sin ^ {2 alpha} theta g (x + t + 2 { sqrt {xt}} cos theta) { frac {J _ { alpha -1/2} ({ sqrt {xt}} sin theta)} {[({ sqrt {xt}} sin theta) / 2] ^ { alpha -1/2}}} d theta ,} F ~ α ( n ) G ~ α ( n ) { displaystyle { tilde {f}} _ { alpha} (n) { tilde {g}} _ { alpha} (n)}[6]Reference^ Debnath, Lokenath a Dambaru Bhatta. Integrální transformace a jejich aplikace. CRC tisk, 2014.^ Debnath, L. "O Laguerrově transformaci." Býk. Kalkata matematika. Soc 52 (1960): 69-77.^ Debnath, L. "Aplikace Laguerrovy transformace na problém vedení tepla." Annali dell’Università di Ferrara 10.1 (1961): 17-19.^ McCully, Joseph. „Laguerrova transformace.“ SIAM Review 2.3 (1960): 185-191.^ Howell, W. T. "CI. Určitý integrál pro legendární funkce." The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 25.172 (1938): 1113-1115.^ Debnath, L. "K Faltungově teorému o Laguerrově transformaci." Studia Univ. Babes-Bolyai, Ser. Phys 2 (1969): 41-45.