Lagrangeova závorka - Lagrange bracket

Lagrangeovy závorky jsou určité výrazy úzce související s Poissonovy závorky které byly zavedeny Joseph Louis Lagrange v letech 1808–1810 pro účely matematické formulace klasická mechanika, ale na rozdíl od Poissonových závorek vypadly z používání.

Definice

Předpokládejme, že (q₁, …, q_n, p₁, …, p_n) je systém kanonické souřadnice na fázový prostor. Pokud je každá z nich vyjádřena jako funkce dvou proměnných, u a proti, pak Lagrangeova závorka u a proti je definován vzorcem

${displaystyle [u, v] _ {p, q} = součet _ {i = 1} ^ {n} vlevo ({frac {částečné q_ {i}} {částečné u}} {frac {částečné p_ {i}} {částečné v}} - {frac {částečné p_ {i}} {částečné u}} {frac {částečné q_ {i}} {částečné v}} včas).}$

Vlastnosti

• Lagrangeovy závorky nezávisí na systému kanonické souřadnice (q, p). Pokud (Q,P) = (Q₁, …, Q_n, P₁, …, P_n) je další systém kanonických souřadnic, takže

${displaystyle Q = Q (q, p), P = P (q, p)}$

je kanonická transformace, potom je Lagrangeova závorka invariantem transformace v tom smyslu

${displaystyle [u, v] _ {q, p} = [u, v] _ {Q, P}}$

Proto jsou dolní indexy označující kanonické souřadnice často vynechány.

• Li Ω je symlektická forma na 2n-dimenzionální fázový prostor Ž a u₁,…,u_2n tvoří soustavu souřadnic na Ž, pak kanonické souřadnice (q,p) lze vyjádřit jako funkce souřadnic u a matice Lagrangeových závorek

${displaystyle [u_ {i}, u_ {j}] _ {p, q}, quad 1leq i, jleq 2n}$

představuje komponenty Ω, zobrazeno jako a tenzor, v souřadnicích u. Tato matice je inverzní matice tvořené Poissonovými závorkami

${displaystyle {u_ {i}, u_ {j}}, quad 1leq i, jleq 2n}$

souřadnic u.

• Jako důsledek předchozích vlastností jsou souřadnice (Q₁, …, Q_n, P₁, …, P_n) ve fázovém prostoru jsou kanonické právě tehdy, pokud mají Lagrangeovy závorky mezi nimi tvar

${displaystyle [Q_ {i}, Q_ {j}] _ {p, q} = 0, kvadrant [P_ {i}, P_ {j}] _ {p, q} = 0, kvadrant [Q_ {i}, P_ {j}] _ {p, q} = - [P_ {j}, Q_ {i}] _ {p, q} = delta _ {ij}.}$

Viz také

• Lagrangian mechanika
• Hamiltoniánská mechanika

Reference

• Cornelius Lanczos, Variační principy mechaniky, Dover (1986), ISBN  0-486-65067-7.
• Iglesias, Patrick, Les origines du calcul symplectique ve společnosti Lagrange [Počátky symplektického počtu v Lagrangeově díle], L'Enseign. Matematika. (2) 44 (1998), č. 3-4, 257–277. PAN1659212

externí odkazy

• Eric W. Weisstein. „Lagrangeova závorka“. MathWorld.
• A.P. Soldatov (2001) [1994], „Lagrangeova závorka“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS