Princip invariance LaSalles - LaSalles invariance principle - Wikipedia

LaSalleův princip invariance (také známý jako princip invariance,^[1] Princip Barbashin-Krasovskii-LaSalle,^[2] nebo Princip Krasovskii-LaSalle ) je kritériem pro asymptotická stabilita autonomního (možná nelineárního) dynamický systém.

Globální verze

Předpokládejme, že systém je reprezentován jako

{ displaystyle { dot { mathbf {x}}} = f vlevo ( mathbf {x} doprava)}

kde ${ displaystyle mathbf {x}}$ je vektor proměnných s

{ displaystyle f left ( mathbf {0} right) = mathbf {0}.}

Pokud ${ displaystyle C ^ {1}}$ funkce ${ displaystyle V ( mathbf {x})}$ lze najít takové, že

{ displaystyle { dot {V}} ( mathbf {x}) leq 0}

pro všechny

{ displaystyle mathbf {x}}

(negativní semidefinit),

pak soubor akumulační body jakékoli trajektorie je obsažena v ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ kde ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ je spojení úplných trajektorií obsažených zcela v množině ${ displaystyle { mathbf {x}: { dot {V}} ( mathbf {x}) = 0 }}$ .

Pokud máme navíc tuto funkci ${ displaystyle V}$ je pozitivní určitý, tj.

{ displaystyle V ( mathbf {x})> 0}

, pro všechny

{ displaystyle mathbf {x} neq mathbf {0}}

{ displaystyle V ( mathbf {0}) = 0}

a pokud ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ neobsahuje žádnou trajektorii systému kromě triviální trajektorie ${ displaystyle mathbf {x} (t) = mathbf {0}}$ pro ${ displaystyle t geq 0}$ , pak je původ asymptoticky stabilní.

Kromě toho, pokud ${ displaystyle V}$ je radiálně neomezený, tj.

{ displaystyle V ( mathbf {x}) do infty}

, tak jako

{ displaystyle Vert mathbf {x} Vert to infty}

pak je původ globálně asymptoticky stabilní.

Místní verze

Li

{ displaystyle V ( mathbf {x})> 0}

, když

{ displaystyle mathbf {x} neq mathbf {0}}

{ displaystyle { dot {V}} ( mathbf {x}) leq 0}

držet pouze pro ${ displaystyle mathbf {x}}$ v nějaké čtvrti ${ displaystyle D}$ původu a množiny

{ displaystyle {{ dot {V}} ( mathbf {x}) = 0 } bigcap D}

kromě trajektorie neobsahuje žádné trajektorie systému ${ displaystyle mathbf {x} (t) = mathbf {0}, t geq 0}$ , pak místní verze principu invariance uvádí, že původ je lokálně asymptoticky stabilní.

Vztah k Lyapunovově teorii

Li ${ displaystyle { dot {V}} ( mathbf {x})}$ je negativní určitý, globální asymptotická stabilita původu je důsledkem Lyapunovova druhá věta. Princip invariance dává kritérium pro asymptotickou stabilitu v případě, že ${ displaystyle { dot {V}} ( mathbf {x})}$ je pouze negativní semidefinit.

Příklad: kyvadlo s třením

V této části se použije princip invariance k vytvoření místní asymptotická stabilita jednoduchého systému, kyvadla s třením. Tento systém lze modelovat pomocí diferenciální rovnice ^[1]

{ displaystyle ml { ddot { theta}} = - mg sin theta -kl { dot { theta}}}

kde ${ displaystyle theta}$ je úhel, který kyvadlo svírá se svislou normálou, ${ displaystyle m}$ je hmotnost kyvadla, ${ displaystyle l}$ je délka kyvadla, ${ displaystyle k}$ je koeficient tření, a G je gravitační zrychlení.

Toto lze zase psát jako soustavu rovnic

{ displaystyle { dot {x}} _ {1} = x_ {2}}

{ displaystyle { dot {x}} _ {2} = - { frac {g} {l}} sin x_ {1} - { frac {k} {m}} x_ {2}}

Pomocí principu invariance je možné ukázat, že všechny trajektorie, které začínají v kouli určité velikosti kolem počátku ${ displaystyle x_ {1} = x_ {2} = 0}$ asymptoticky konvergují k původu. Definujeme ${ displaystyle V (x_ {1}, x_ {2})}$ tak jako

{ displaystyle V (x_ {1}, x_ {2}) = { frac {g} {l}} (1- cos x_ {1}) + { frac {1} {2}} x_ {2 } ^ {2}}

Tento ${ displaystyle V (x_ {1}, x_ {2})}$ je jednoduše škálovaná energie systému ^[2] Jasně, ${ displaystyle V (x_ {1}, x_ {2})}$ je pozitivní určitý v otevřené kouli o poloměru ${ displaystyle pi}$ kolem původu. Výpočet derivátu,

{ displaystyle { dot {V}} (x_ {1}, x_ {2}) = { frac {g} {l}} sin x_ {1} { dot {x}} _ {1} + x_ {2} { dot {x}} _ {2} = - { frac {k} {m}} x_ {2} ^ {2}}

Dodržujte to ${ displaystyle V (0) = { dot {V}} (0) = 0}$ . Pokud by to byla pravda ${ displaystyle { dot {V}} <0}$ , mohli bychom dojít k závěru, že každá trajektorie se blíží počátku pomocí Lyapunovova druhá věta. Bohužel, ${ displaystyle { dot {V}} leq 0}$ a ${ displaystyle { dot {V}}}$ je pouze negativní semidefinit od té doby ${ displaystyle x_ {1}}$ může být nenulová, když ${ displaystyle { dot {V}} = 0}$ . Sada však

{ displaystyle S = {(x_ {1}, x_ {2}) | { dot {V}} (x_ {1}, x_ {2}) = 0 }}

což je jednoduše sada

{ displaystyle S = {(x_ {1}, x_ {2}) | x_ {2} = 0 }}

neobsahuje žádnou trajektorii systému, kromě triviální trajektorie X = 0. Opravdu, pokud někdy ${ displaystyle t}$ , ${ displaystyle x_ {2} (t) = 0}$ , pak proto ${ displaystyle x_ {1}}$ musí být menší než ${ displaystyle pi}$ daleko od původu, ${ displaystyle sin x_ {1} neq 0}$ a ${ displaystyle { dot {x}} _ {2} (t) neq 0}$ . Výsledkem je, že trajektorie nezůstane v sadě ${ displaystyle S}$ .

Všechny podmínky místní verze principu invariance jsou splněny a můžeme dojít k závěru, že každá trajektorie, která začíná v nějakém sousedství počátku, bude konvergovat k počátku jako ${ displaystyle t rightarrow infty}$ ^[3].

Dějiny

Obecný výsledek nezávisle objevil J.P. LaSalle (poté v RIAS ) a N.N. Krasovskii, kteří publikovali v letech 1960 a 1959. Zatímco LaSalle byl prvním autorem na Západě, který publikoval obecnou větu v roce 1960, zvláštní případ věty sdělil v roce 1952 Barbashin a Krasovskii následované zveřejněním obecného výsledku v roce 1959 autorem Krasovskii ^[4].

Viz také

Originální papíry

LaSalle, J.P. Některá rozšíření Liapunovovy druhé metody, Transakce IRE na teorii obvodů, CT-7, str. 520–527, 1960. (PDF )
Barbashin, E. A .; Nikolai N. Krasovskii (1952). Об устойчивости движения в целом [O stabilitě pohybu jako celku]. Doklady Akademii Nauk SSSR (v Rusku). 86: 453–456.
Krasovskii, N. N. Problémy teorie stability pohybu, (Rusky), 1959. Anglický překlad: Stanford University Press, Stanford, CA, 1963.

Učebnice

LaSalle, J.P.; Lefschetz, S. (1961). Stabilita přímou metodou Liapunova. Akademický tisk.
Haddad, W.M.; Chellaboina, VS (2008). Nelineární dynamické systémy a řízení, přístup založený na Lyapunově. Princeton University Press. ISBN 9780691133294.
Teschl, G. (2012). Obyčejné diferenciální rovnice a dynamické systémy. Prozřetelnost: Americká matematická společnost. ISBN 978-0-8218-8328-0.
Wiggins, S. (2003). Úvod do aplikovaných nelineárních dynamických systémů a chaosu (2. vyd.). New York City: Springer Verlag. ISBN 0-387-00177-8.

Přednášky

Texas A&M University poznámky k principu invariance (PDF )
Státní univerzita NC poznámky k principu invariance LaSalle (PDF ).
Caltech poznámky k principu invariance LaSalle (PDF ).
MIT Poznámky OpenCourseware k analýze stability Lyapunova a principu invariance (PDF ).
Purdue University poznámky k teorii stability a principu invariance LaSalle (PDF^{[trvalý mrtvý odkaz ]}).

Reference

^ Khalil, Hasan (2002). Nelineární systémy (3. vyd.). Horní sedlo řeky NJ: Prentice Hall.
^ Wassim, Haddad; Chellaboina, VijaySekhar (2008). Nelineární dynamické systémy a řízení, přístup založený na Lyapunově. Princeton University Press.

^ Poznámky k přednášce o nelineární kontrole, University of Notre Dame, instruktor: Michael Lemmon, přednáška 4.
^ tamtéž.
^ Přednášky o nelineární analýze, Taiwanská národní univerzita, instruktor: Feng-Li Lian, přednáška 4-2.
^ Vidyasagar, M. Nelineární analýza systémů, SIAM Classics in Applied Mathematics, SIAM Press, 2002.

[Khalil-1] Khalil, Hasan (2002). Nelineární systémy (3. vyd.). Horní sedlo řeky NJ: Prentice Hall.

[Haddad-2] Wassim, Haddad; Chellaboina, VijaySekhar (2008). Nelineární dynamické systémy a řízení, přístup založený na Lyapunově. Princeton University Press.

[1]

[2]

[1]

[2]

[3]

[4]