Krylov – Bogoliubovova metoda průměrování - Krylov–Bogoliubov averaging method

The Krylov – Bogolyubovova metoda průměrování (Krylov – Bogolyubovova metoda průměrování) je matematická metoda pro přibližnou analýzu oscilačních procesů v nelineární mechanice.^[1] Metoda je založena na principu průměrování, kdy je přesná diferenciální rovnice pohybu nahrazena jeho průměrovanou verzí. Metoda je pojmenována po Nikolay Krylov a Nikolay Bogoliubov.

Od studia díla byly použity různé schémata průměrování pro studium problémů nebeské mechaniky Gauss, Fatou, Delone, Kopec. Význam příspěvku Krylova a Bogoliubova spočívá v tom, že vyvinuli obecný průměrovací přístup a dokázali, že řešení průměrovaného systému se blíží přesné dynamice.^[2][3][4]

Pozadí

Krylov – Bogoliubovovo průměrování lze použít k přiblížení oscilačních problémů, když selže klasická perturbační expanze. To je singulární perturbace problémy oscilačního typu, například Einsteinova korekce na periheliová precese Merkuru.^[5]

Derivace

Metoda se zabývá diferenciálními rovnicemi ve formě

${displaystyle {frac {d ^ {2} u} {dt ^ {2}}} + k ^ {2} u = a + varepsilon fleft (u, {frac {du} {dt}} ight)}$

pro hladkou funkci F spolu s příslušnými počátečními podmínkami. Parametr ε se předpokládá, že uspokojí

${displaystyle 0$

Li ε = 0, pak se rovnice stane rovnicí jednoduchého harmonického oscilátoru s konstantním nucením a obecným řešením je

${displaystyle u (t) = {frac {a} {k ^ {2}}} + Asin (kt + B),}$

kde A a B jsou vybrány tak, aby odpovídaly počátečním podmínkám. Řešení narušené rovnice (když ε ≠ 0) se předpokládá, že bude mít stejnou formu, ale nyní A a B se mohou měnit s t (aε). Pokud se také předpokládá, že

${displaystyle {frac {du} {dt}} = kA (t) cos (kt + B (t)),}$

pak to lze ukázat A a B uspokojit diferenciální rovnici:^[5]

${displaystyle {frac {d} {dt}} {egin {bmatrix} A Bend {bmatrix}} = {frac {varepsilon} {k}} fleft ({frac {a} {k ^ {2}}} + Asin (phi), kAcos (phi) ight) {egin {bmatrix} cos (phi) - {frac {1} {A}} sin (phi) end {bmatrix}},}$

kde ${displaystyle phi = kt + B}$. Všimněte si, že tato rovnice je stále přesná - zatím nebyla provedena žádná aproximace. Metodou Krylova a Bogolyubov je třeba poznamenat, že funkce A a B se mění pomalu s časem (v poměru k ε), takže jejich závislost na ${displaystyle phi}$ lze (přibližně) odstranit průměrováním na pravé straně předchozí rovnice:

${displaystyle {frac {d} {dt}} {egin {bmatrix} A_ {0} B_ {0} end {bmatrix}} = {frac {varepsilon} {2pi k}} int _ {0} ^ {2pi} fleft ({frac {a} {k ^ {2}}} + A_ {0} sin (heta), kA_ {0} cos (heta) ight) {egin {bmatrix} cos (heta) - {frac {1 } {A_ {0}}} hřích (heta) konec {bmatrix}} d heta,}$

kde ${displaystyle A_ {0}}$ a ${displaystyle B_ {0}}$ jsou během integrace drženy pevně. Po vyřešení této (možná) jednodušší sady diferenciálních rovnic je potom Krylov – Bogolyubov průměrovaná aproximace pro původní funkci dána vztahem

${displaystyle u_ {0} (t, varepsilon): = {frac {a} {k ^ {2}}} + A_ {0} (t, varepsilon) sin (kt + B_ {0} (t, varepsilon)) .}$

Ukázalo se, že tato aproximace vyhovuje ^[6]

${displaystyle left | u (t, varepsilon) -u_ {0} (t, varepsilon) ight | leq C_ {1} varepsilon,}$

kde t uspokojuje

${displaystyle 0leq tleq {frac {C_ {2}} {varepsilon}}}$

pro některé konstanty ${displaystyle C_ {1}}$ a ${displaystyle C_ {2}}$, nezávisle na ε.

Reference