Kirchhoffova integrální věta - Kirchhoff integral theorem - Wikipedia

Kirchhoff integrální věta (někdy označovaná jako Fresnelova – Kirchhoffova integrální věta)^[1] používá Greenovy identity odvodit řešení na homogenní vlnová rovnice v libovolném bodě P z hlediska hodnot řešení vlnové rovnice a její derivace prvního řádu ve všech bodech na libovolné ploše, která obklopuje P.^[2]

Rovnice

Monochromatické vlny

Integrál má následující tvar pro a jednobarevný mávat:^[2][3]

${ displaystyle U ( mathbf {r}) = { frac {1} {4 pi}} int _ {S} vlevo [U { frac { částečné} { částečné { hat { mathbf {n}}}}} left ({ frac {e ^ {iks}} {s}} right) - { frac {e ^ {iks}} {s}} { frac { částečné U} { částečný { hat { mathbf {n}}}}} vpravo] dS,}$

kde se integrace provádí libovolně uzavřený povrch S (příloha r), s je vzdálenost od plošného prvku k bodu ra ∂ / ∂n označuje diferenciaci podél normálu povrchu (a normální derivace ). Všimněte si, že v této rovnici ukazuje normála dovnitř uzavřeného objemu; pokud je obvyklejší vnější směřující normální je použit, bude mít integrál opačné znaménko.

Non-monochromatické vlny

Obecnější formu lze odvodit pro jiné než jednobarevné vlny. The komplexní amplituda vlny může být reprezentován Fourierovým integrálem formy

${ displaystyle V (r, t) = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} int U _ { omega} (r) e ^ {- i omega t} , d omega ,}$

kde, tím Fourierova inverze, my máme

${ displaystyle U _ { omega} (r) = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} int V (r, t) e ^ {i omega t} , dt.}$

Integrovaná věta (výše) je aplikována na každou Fourierovu komponentu ${ displaystyle U _ { omega}}$a získá se následující výraz:^[2]

${ displaystyle V (r, t) = { frac {1} {4 pi}} int _ {S} vlevo {[V] { frac { částečné} { částečné n}} vlevo ({ frac {1} {s}} vpravo) - { frac {1} {cs}} { frac { částečné s} { částečné n}} doleva [{ frac { částečné V} { částečné t}} pravé] - { frac {1} {s}} levé [{ frac { částečné V} { částečné n}} pravé] pravé } dS,}$

kde hranaté závorky PROTI výrazy označují retardované hodnoty, tj. hodnoty v čase t − s/C.

Kirchhoff ukázal, že výše uvedená rovnice může být v mnoha případech aproximována do jednodušší formy známé jako Kirchhoff, nebo Fresnel – Kirchhoffův difrakční vzorec, což je ekvivalentní s Huygensova-Fresnelova rovnice, ale poskytuje vzorec pro faktor sklonu, který v druhém není definován. Difrakční integrál lze aplikovat na širokou škálu problémů v optice.

Viz také

• Kirchhoffův difrakční vzorec
• Vektorový počet
• Integrální
• Princip Huygens – Fresnel
• Vlnoplocha
• Plošný integrál

Reference

Další čtení

• Cambridge Handbook of Physics Formulas, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN  978-0-521-57507-2.
• Úvod do elektrodynamiky (3. vydání), D.J. Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, ISBN  81-7758-293-3
• Světlo a hmota: elektromagnetismus, optika, spektroskopie a lasery, Y.B. Kapela, John Wiley & Sons, 2010, ISBN  978-0-471-89931-0
• The Light Fantastic - Úvod do klasické a kvantové optiky, I.R. Kenyon, Oxford University Press, 2008, ISBN  978-0-19-856646-5
• Encyklopedie fyziky (2. vydání), R.G. Lerner, G.L. Trigg, vydavatelé VHC, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
• McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2. vydání), C.B. Parker, 1994, ISBN  0-07-051400-3