Kirchhoffova věta - Kirchhoffs theorem - Wikipedia

V matematický pole teorie grafů, Kirchhoffova věta nebo Kirchhoffova věta o maticovém stromu pojmenoval podle Gustav Kirchhoff je věta o počtu klenout se nad stromy v graf, což ukazuje, že toto číslo lze vypočítat v polynomiální čas jako určující z Laplaciánská matice grafu. Jedná se o zobecnění Cayleyův vzorec který poskytuje počet koster v a kompletní graf.

Kirchhoffova věta se opírá o představu Laplaciánská matice grafu, který se rovná rozdílu mezi grafy stupeň matice (diagonální matice se stupni vrcholů na úhlopříčkách) a její matice sousedství (a (0,1) -matice s 1 na místech odpovídajících položkám, kde vrcholy sousedí a jinak 0).

Pro daný připojený graf G s n označeno vrcholy, nechť λ₁, λ₂, ..., λ_n₋₁ být nenulová vlastní čísla jeho laplaciánské matice. Pak počet kosterních stromů G je

{ displaystyle t (G) = { frac {1} {n}} lambda _ {1} lambda _ {2} cdots lambda _ {n-1} ,.}

Ekvivalentně je stejný počet koster žádný kofaktor laplaciánské matice G.

Příklad použití věty o maticovém stromu

Teorém o maticovém stromu lze použít k výpočtu počtu označených rozpětí stromů tohoto grafu.

Nejprve postavte Laplaciánská matice Q pro příklad diamantový graf G (viz obrázek vpravo):

{ displaystyle Q = left [{ begin {array} {rrrr} 2 & -1 & -1 & 0 - 1 & 3 & -1 & -1 - 1 & -1 & 3 & -1 0 & -1 & -1 & 2 end {pole} }že jo].}

Dále vytvořte matici Q^* odstraněním libovolného řádku a libovolného sloupce z Q. Například odstranění řádku 1 a sloupce 1 poskytuje výnosy

{ displaystyle Q ^ { ast} = left [{ begin {array} {rrr} 3 & -1 & -1 - 1 & 3 & -1 - 1 & -1 & 2 end {array}} right].}

Nakonec si vezměte určující z Q^* získat t (G), což je 8 pro diamantový graf. (Oznámení t (G) je (1,1)-kofaktor z Q v tomto příkladu.)

Důkazní obrys

(Důkaz níže je založen na Cauchy-Binetův vzorec. Elementární indukční argument pro Kirchhoffovu větu lze nalézt na straně 654 ^[1].)

Nejprve si všimněte, že laplaciánská matice má tu vlastnost, že součet jejích položek napříč jakýmkoli řádkem a jakýmkoli sloupcem je 0. Můžeme tedy transformovat jakoukoli menší na jakoukoli jinou menší přidáním řádků a sloupců, jejich přepínáním a vynásobením řádku nebo sloupce o -1. Kofaktory jsou tedy při podpisu stejné a lze ověřit, že ve skutečnosti mají stejné znaménko.

Postupně ukážeme, že determinant nezletilého M₁₁ spočítá počet koster. Nechat n být počet vrcholů grafu a m počet jeho hran. Matice dopadu E je n-podle-m matice, kterou lze definovat takto: Předpokládejme, že (i, j) je kokraj grafu, a to i < j. Pak E_ik = 1, E_jk = −1a všechny ostatní položky ve sloupci k jsou 0 (viz orientované Matice výskytu pro pochopení této upravené matice výskytu E). Pro předchozí příklad (s n = 4 a m = 5):

{ displaystyle E = { begin {bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 - 1 & 0 & 1 & 1 & 0 0 & -1 & -1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & -1 & -1 end {bmatrix}}.}

Připomeňme, že Laplacian L lze zapracovat do produktu matice výskytu a jeho provedení, tj. L = EE^T. Kromě toho F být maticí E s odstraněným prvním řádkem, takže FF^T = M₁₁.

Nyní Cauchy-Binetův vzorec umožňuje nám psát

{ displaystyle det left (M_ {11} right) = sum _ {S} det left (F_ {S} right) det left (F_ {S} ^ {T} right) = sum _ {S} det left (F_ {S} right) ^ {2}}

kde S rozsahy napříč podmnožinami [m] velikosti n - 1 a F_S označuje (n - 1) -by- (n - 1) matice, jejíž sloupce jsou F s indexem v S. Pak každý S specifikuje n - 1 hrany původního grafu a je možné ukázat, že tyto hrany indukují kostru, pokud je determinantem F_S je +1 nebo -1, a že neindukují spanningový strom, pokud je determinant 0. Tím je důkaz dokončen.

Zvláštní případy a zevšeobecnění

Cayleyův vzorec

Cayleyův vzorec vyplývá z Kirchhoffovy věty jako zvláštního případu, protože každý vektor s 1 na jednom místě, −1 na jiném místě a 0 jinde je vlastní vektor laplaciánské matice celého grafu, přičemž odpovídající vlastní hodnota je n. Tyto vektory společně překlenují prostor dimenze n - 1, takže neexistují žádné jiné nenulové vlastní hodnoty.

Alternativně si všimněte, že jako Cayleyův vzorec počítá počet odlišných označených stromů celého grafu K._n musíme spočítat jakýkoli kofaktor lapovské matice K._n. Laplaciánská matice v tomto případě je

{ displaystyle { begin {bmatrix} n-1 & -1 & cdots & -1 - 1 & n-1 & cdots & -1 vdots & vdots & ddots & vdots - 1 & -1 & cdots & n-1 end {bmatrix}}.}

Jakýkoli kofaktor výše uvedené matice je nⁿ⁻², což je Cayleyův vzorec.

Kirchhoffova věta pro multigrafy

Kirchhoffova věta platí multigrafy také; matice Q se mění takto:

Vstup q_{já, j} rovná se -m, kde m je počet hran mezi i a j;
při počítání stupně vrcholu vše smyčky jsou vyloučeny.

Cayleyův vzorec pro kompletní multigraf je m^n-1(č^n-1- (n-1) n^n-2) stejnými metodami vytvořenými výše, protože jednoduchý graf je multigraf s m = 1.

Explicitní výčet překlenujících stromů

Kirchhoffovu teorém lze posílit změnou definice laplaciánské matice. Spíše než jen počítat hrany vycházející z každého vrcholu nebo spojovat dvojici vrcholů, označte každou hranu znakem neurčitý a nechte (i, j) -tý vstup modifikované laplaciánské matice je součet přes neurčité odpovídající hranám mezi i-th a j-té vrcholy, když i nerovná se ja záporný součet všech neurčitostí odpovídajících hranám vycházejícím z i-tý vrchol, když i rovná se j.

Determinant modifikované lalaciánské matice odstraněním libovolného řádku a sloupce (podobně jako zjištění počtu spanningových stromů z původní laplaciánské matice), výše, je pak homogenní polynom (Kirchhoffův polynom) v neurčitých částech odpovídajících okrajům grafu. Po shromáždění podmínek a provedení všech možných zrušení monomiální ve výsledném výrazu představuje překlenující strom skládající se z okrajů odpovídajících neurčitým členům, které se objevují v daném monomiu. Tímto způsobem lze získat explicitní výčet všech spanningových stromů grafu jednoduše výpočtem determinantu.

Matroidy

Rozpětí stromů grafu tvoří základy a grafický matroid, takže Kirchhoffova věta poskytuje vzorec pro výpočet počtu bází v grafickém matroidu. Stejná metoda může být také použita k počítání počtu bází v pravidelné matroidy, zobecnění grafických matroidů (Maurer 1976 ).

Kirchhoffova věta pro řízené multigrafy

Kirchhoffovu větu lze upravit tak, aby spočívala počet orientovaných spanningových stromů v řízených multigrafech. Matice Q je konstruován následovně:

Vstup q_{já, j} pro odlišné i a j rovná se -m, kde m je počet hran od i na j;
Vstup q_{já, já} se rovná indegree z i minus počet smyček na i.

Počet orientovaných spanningových stromů zakořeněných na vrcholu i je determinant matice získané odstraněním iřádek a sloupec Q.

Počítání přesahuje k-komponentní lesy

Kirchhoffovu větu lze zobecnit na počítání $k$ -komponenta překlenující lesy v neváženém grafu.^[2] A $k$ -komponentní les je subgraf s $k$ připojené komponenty který obsahuje všechny vrcholy a je bez cyklů, tj. mezi každou dvojicí vrcholů je maximálně jedna cesta. Vzhledem k takovému lesu F s připojenými součástmi ${ textstyle F_ {1}, tečky, F_ {k}}$ , definovat jeho váhu ${ textstyle w (F) = | V (F_ {1}) | cdot dots cdot | V (F_ {k}) |}$ být součinem počtu vrcholů v každé složce. Pak

{ displaystyle sum _ {F} w (F) = q_ {k},}

kde je součet nade vše $k$ - složka překlenující lesy a ${ textstyle q_ {k}}$ je koeficient ${ displaystyle x ^ {k}}$ polynomu

{ displaystyle (x + lambda _ {1}) tečky (x + lambda _ {n-1}) x.}

Poslední faktor v polynomu je způsoben nulovou vlastní hodnotou ${ textstyle lambda _ {n} = 0}$ . Přesněji řečeno, číslo ${ textstyle q_ {k}}$ lze vypočítat jako

{ displaystyle q_ {k} = součet _ { {i_ {1}, tečky, i_ {nk} } podmnožina {1 tečky n-1 }} lambda _ {i_ {1}} dots lambda _ {i_ {nk}}.}

kde je součet nade vše n–k-prvkové podmnožiny ${ textstyle {1, tečky, n }}$ . Například

${ displaystyle { begin {seřazeno} q_ {n-1} & = lambda _ {1} + dots + lambda _ {n-1} = mathrm {tr} Q = 2 | E | q_ {n-2} & = lambda _ {1} lambda _ {2} + lambda _ {1} lambda _ {3} + dots + lambda _ {n-2} lambda _ {n- 1} q_ {2} & = lambda _ {1} dots lambda _ {n-2} + lambda _ {1} dots lambda _ {n-3} lambda _ {n-1 } + dots + lambda _ {2} dots lambda _ {n-1} q_ {1} & = lambda _ {1} dots lambda _ {n-1} end { zarovnaný}}}$

Vzhledem k tomu, rozpínající se les s n–1 komponenty odpovídá jedné hraně, k = n - 1 případ uvádí, že součet vlastních čísel Q je dvojnásobný počet hran. The k = 1 případ odpovídá původní Kirchhoffově teorému, protože váha každého kostry je n.

Důkaz lze provést analogicky jako důkaz Kirchhoffovy věty. Invertibilní ${ textový styl (n-k) krát (n-k)}$ submatice incidenční matice bijektivně odpovídá a k-komponentní překlenovací les s výběrem vrcholu pro každou komponentu.

Koeficienty ${ textstyle q_ {k}}$ jsou připraveni podepsat koeficienty charakteristický polynom z Q.

Viz také

Reference

^ Moore, Cristopher (2011). Povaha výpočtu. Oxford England New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-923321-2. OCLC 180753706.
^ Biggs, N. (1993). Algebraická teorie grafů. Cambridge University Press.

Harris, John M .; Hirst, Jeffry L .; Mossinghoff, Michael J. (2008), Kombinatorika a teorie grafů, Pregraduální texty z matematiky (2. vyd.), Springer.
Maurer, Stephen B. (1976), „Maticové zobecnění některých vět o stromech, cyklech a cyklech v grafech“, SIAM Journal on Applied Mathematics, 30 (1): 143–148, doi:10.1137/0130017, PAN 0392635.
Tutte, W. T. (2001), Teorie grafů, Cambridge University Press, str. 138, ISBN 978-0-521-79489-3.
Chaiken, S .; Kleitman, D. (1978), "Věty o maticových stromech", Journal of Combinatorial Theory, Series A, 24 (3): 377–381, doi:10.1016/0097-3165(78)90067-5, ISSN 0097-3165

externí odkazy

Důkaz Kirchhoffovy věty

[Moore_2011_p._654-1] Moore, Cristopher (2011). Povaha výpočtu. Oxford England New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-923321-2. OCLC 180753706.

[2] Biggs, N. (1993). Algebraická teorie grafů. Cambridge University Press.

[1]

[2]