Kirchbergersova věta - Kirchbergers theorem - Wikipedia

Kirchbergerova věta je věta v diskrétní geometrie, na lineární oddělitelnost. Dvojrozměrná verze věty uvádí, že pokud konečná sada červených a modrých bodů v Euklidovské letadlo má vlastnost, že pro každé čtyři body existuje čára oddělující červené a modré body v těchto čtyřech, pak existuje jediná čára oddělující všechny červené body od všech modrých bodů. Donald Watson formuluje tento výsledek barevněji a analogicky s farmářským dvorem:

Pokud se ovce a kozy pasou na poli a pro každé čtyři zvíře existuje čára oddělující ovce od koz, pak existuje čára pro všechna zvířata.[1]

Obecněji řečeno, pro konečně mnoho červených a modrých bodů -dimenzionální Euklidovský prostor, pokud červená a modrá body v každé podmnožině bodů je lineárně oddělitelných, pak jsou všechny červené body a všechny modré body lineárně oddělitelné. Dalším rovnocenným způsobem vyjádření výsledku je, že pokud konvexní trupy konečně mnoho červených a modrých bodů má neprázdnou křižovatku, pak existuje podmnožina body, u nichž se také protínají konvexní slupky červených a modrých bodů v podmnožinách.[2][3]

Historie a důkazy

Věta je pojmenována po německém matematikovi Paulovi Kirchbergerovi, studentovi David Hilbert na Univerzita v Göttingenu který to dokázal ve své disertační práci z roku 1902,[4] a publikoval ji v roce 1903 v Mathematische Annalen,[5] jako pomocná věta použitá při jeho analýze Čebyševova aproximace. Zpráva Hilberta o disertační práci uvádí, že některé Kirchbergerovy pomocné věty v této části jeho disertační práce byly známy Hermann Minkowski ale nepublikováno; není jasné, zda se toto tvrzení vztahuje na výsledek nyní známý jako Kirchbergerova věta.[6]

Od Kirchbergerovy práce byly publikovány další důkazy Kirchbergerovy věty, včetně jednoduchých důkazů založených na Hellyho věta na křižovatkách konvexní sady,[7] na základě Carathéodoryova věta o členství v konvexní trupy,[2] nebo na základě zásad souvisejících s Radonova věta na křižovatkách konvexních trupů.[3] Nicméně Hellyho věta, Carathéodoryova věta a Radonova věta, všechny postdate Kirchbergerovy věty.

Zobecnění a související výsledky

Posílená verze Kirchbergerovy věty opravuje jeden z daných bodů a zohledňuje pouze podmnožiny body, které zahrnují pevný bod. Pokud jsou červené a modré body v každé z těchto podmnožin lineárně oddělitelné, pak jsou všechny červené body a všechny modré body lineárně oddělitelné.[1] Věta také platí, pokud se tvoří červené a modré body kompaktní sady které nemusí být nutně konečné.[3]

Používáním stereografická projekce, Kirchbergerova věta může být použita k prokázání podobného výsledku pro kruhovou nebo sférickou oddělitelnost: pokud každých pět bodů konečně mnoha červených a modrých bodů v rovině může mít červené a modré body oddělené kruhem, nebo každý body ve vyšších dimenzích mohou mít červené a modré body oddělené a hypersféra, pak lze všechny červené a modré body oddělit stejným způsobem.[8]

Viz také

Reference

  1. ^ A b Watson, Donald (1973), „Zdokonalení vět Kirchberger a Carathéodory“, Australská matematická společnost, 15 (2): 190–192, doi:10.1017 / S1446788700012957, PAN  0333980
  2. ^ A b Shimrat, Moshe (1955), „Jednoduchý důkaz věty P. Kirchbergera“, Pacific Journal of Mathematics, 5 (3): 361–362, doi:10,2140 / pjm.1955.5.361, PAN  0071796
  3. ^ A b C Webster, R. J. (1983), „Další jednoduchý důkaz Kirchbergerovy věty“, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 92 (1): 299–300, doi:10.1016 / 0022-247X (83) 90286-X, PAN  0694178
  4. ^ Paul Kirchberger na Matematický genealogický projekt
  5. ^ Kirchberger, Paul (1903), „Über Tchebychefsche Annäherungsmethoden“, Mathematische Annalen, 57 (4): 509–540, doi:10.1007 / BF01445182, PAN  1511222, S2CID  120774553
  6. ^ Steffens, Karl-Georg, „4,3 Kirchbergerova práce“, Historie teorie přiblížení: Od Eulera po Bernsteina, Boston: Birkhäuser, s. 135–137, doi:10.1007 / 0-8176-4475-x_4, PAN  2190312
  7. ^ Rademacher, Hans; Schoenberg, I. J. (1950), „Hellyho věty o konvexních doménách a Tchebycheffův problém aproximace“, Kanadský žurnál matematiky, 2: 245–256, doi:10.4153 / cjm-1950-022-8, PAN  0035044
  8. ^ Lay, S. R. (1971), „O oddělení sférickými povrchy“, Americký matematický měsíčník, 78 (10): 1112–1113, doi:10.2307/2316320, JSTOR  2316320, PAN  0300201

Další čtení

  • Bergold, Helena; Felsner, Stefan; Scheucher, Manfred; Schröder, Felix; Steiner, Raphael (2020), „Topologické kresby splňují klasické věty z konvexní geometrie“, Sborník 28. mezinárodního sympozia o kreslení grafů a vizualizaci sítí, arXiv:2005.12568
  • Houle, Michael E. (1991), „Věty o existenci oddělovacích ploch“, Diskrétní a výpočetní geometrie, 6 (1): 49–56, doi:10.1007 / BF02574673, PAN  1073072, S2CID  1992810
  • Lángi, Zsolt; Naszódi, Márton (2008), „Věty Kirchbergerova typu pro separaci konvexními doménami“, Periodica Mathematica Hungarica, 57 (2): 185–196, doi:10.1007 / s10998-008-8185-6, PAN  2469604, S2CID  15506550
  • Netrebin, A. G .; Shashkin, Yu. A. (1985), „Věty typu Kirchberger a Carathéodory v zobecněných prostorech konvexity“, Doklady Akademii Nauk SSSR, 283 (5): 1085–1088, PAN  0802134
  • Rennie, B. C. (1970), „Věta jako Kirchbergerova“, Journal of the London Mathematical Society, Druhá série, 2: 40–44, doi:10.1112 / jlms / s2-2.1.40, PAN  0250192