Kellyho lemma - Kellys lemma - Wikipedia

v teorie pravděpodobnosti, Kellyho lemma uvádí, že pro stacionární Markovův řetězec nepřetržitého času, proces definovaný jako časově obrácený proces má stejnou stacionární distribuci jako proces v čase.^[1] Věta je pojmenována po Frank Kelly.^[2]^[3]^[4]^[5]

Prohlášení

Po nepřetržitý Markovův řetězec se stavovým prostorem S a matice přechodové rychlosti Q (s prvky q_ij) pokud najdeme sadu čísel q '_ij a π_i sčítání do 1 kde^[1]

{ displaystyle { begin {aligned} sum _ {j neq i} pi _ {i} q '_ {ij} & = sum _ {j neq i} q_ {ij} quad forall i in S pi _ {i} q_ {ij} & = pi _ {j} q_ {ji} ' quad forall i, j in S end {aligned}}}

pak q '_ij jsou sazby za obrácený proces a π_i jsou stacionární distribuce pro oba procesy.

Důkaz

Vzhledem k předpokladům učiněným na q_ij a π_i vidíme

{ displaystyle sum _ {i neq j} pi _ {i} q_ {ij} = sum _ {i neq j} pi _ {j} q '_ {ji} = pi _ {j } sum _ {i neq j} q_ {ji} = - pi _ {j} q_ {jj}}

takže globální bilanční rovnice jsou spokojeni a π_i jsou stacionární distribucí pro oba procesy.

Reference

^ ^A ^b Boucherie, Richard J .; van Dijk, N. M. (2011). Queuing Networks: Základní přístup. Springer. str. 222. ISBN 144196472X.
^ Kelly, Frank P. (1979). Reverzibilita a stochastické sítě. J. Wiley. str. 22. ISBN 0471276014.
^ Walrand, Jean (1988). Úvod do řazení sítí. Prentice Hall. str. 63 (Lemma 2.8.5). ISBN 013474487X.
^ Kelly, F. P. (1976). "Sítě front". Pokroky v aplikované pravděpodobnosti. 8 (2): 416–432. doi:10.2307/1425912. JSTOR 1425912.
^ Asmussen, S. R. (2003). "Markov skokové procesy". Aplikovaná pravděpodobnost a fronty. Stochastické modelování a aplikovaná pravděpodobnost. 51. 39–59. doi:10.1007/0-387-21525-5_2. ISBN 978-0-387-00211-8.

[bou-1] A ^b Boucherie, Richard J .; van Dijk, N. M. (2011). Queuing Networks: Základní přístup. Springer. str. 222. ISBN 144196472X.

[2] Kelly, Frank P. (1979). Reverzibilita a stochastické sítě. J. Wiley. str. 22. ISBN 0471276014.

[3] Walrand, Jean (1988). Úvod do řazení sítí. Prentice Hall. str. 63 (Lemma 2.8.5). ISBN 013474487X.

[4] Kelly, F. P. (1976). "Sítě front". Pokroky v aplikované pravděpodobnosti. 8 (2): 416–432. doi:10.2307/1425912. JSTOR 1425912.

[5] Asmussen, S. R. (2003). "Markov skokové procesy". Aplikovaná pravděpodobnost a fronty. Stochastické modelování a aplikovaná pravděpodobnost. 51. 39–59. doi:10.1007/0-387-21525-5_2. ISBN 978-0-387-00211-8.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]