Kaplanskyho věta o kvadratických formách - Kaplanskys theorem on quadratic forms - Wikipedia

v matematika, Kaplanského věta o kvadratických formách je výsledkem současného zobrazení připraví podle kvadratické formy. V roce 2003 to bylo prokázáno Irving Kaplansky.[1]

Výrok věty

Kaplanskyho věta říká, že prvočíslo p shodné s 1 modulo 16 je reprezentovatelný oběma nebo žádným z X2 + 32y2 a X2 + 64y2, zatímco prime p shodný s 9 modulo 16 je reprezentovatelný přesně jednou z těchto kvadratických forem.

To je pozoruhodné, protože prvočísla představovaná každou z těchto forem jednotlivě jsou ne lze popsat shodnými podmínkami.[2]

Důkaz

Kaplanského důkaz využívá skutečnosti, že 2 je čtvrté výkonové modulo p kdyby a jen kdyby p je zastupitelný uživatelem X2 + 64y2, a to −4 je 8. výkonové modulop kdyby a jen kdyby p je zastupitelný uživatelem X2 + 32y2.

Příklady

  • Prime p = 17 je shodný s 1 modulo 16 a není reprezentovatelný ani jedním X2 + 32y2 ani X2 + 64y2.
  • Prime p= 113 je shodný s 1 modulo 16 a je reprezentovatelný oběma X2 + 32y2 a X2+64y2 (od 113 = 92 + 32×12 a 113 = 72 + 64×12).
  • Prime p = 41 je shodný s 9 modulo 16 a je reprezentovatelný X2 + 32y2 (od 41 = 32 + 32×12), ale ne X2 + 64y2.
  • Prime p = 73 je shodné s 9 modulo 16 a je reprezentovatelné X2 + 64y2 (od 73 = 32 + 64×12), ale ne X2 + 32y2.

Podobné výsledky

Je známo pět výsledků podobných Kaplanského teorému:[3]

  • Prime p shodný s 1 modulo 20 je reprezentovatelný oběma nebo žádným z X2 + 20y2 a X2 + 100y2, zatímco prime p shodný s 9 modulo 20 je reprezentovatelný přesně jednou z těchto kvadratických forem.
  • Prime p shodný s 1, 16 nebo 22 modulo 39 je reprezentovatelný oběma nebo žádným z nich X2 + xy + 10y2 a X2 + xy + 127y2, zatímco prime p kongruentní na 4, 10 nebo 25 modulo 39 je reprezentovatelný přesně jednou z těchto kvadratických forem.
  • Prime p shodné s 1, 16, 26, 31 nebo 36 modulo 55 je reprezentovatelné oběma nebo žádným z nich X2 + xy + 14y2 a X2 + xy + 69y2, zatímco prime p kongruentní na 4, 9, 14, 34 nebo 49 modulo 55 je reprezentovatelný právě jednou z těchto kvadratických forem.
  • Prime p shodné s 1, 65 nebo 81 modulo 112 je reprezentovatelné oběma nebo žádným z nich X2 + 14y2 a X2 + 448y2, zatímco prime p shodný s 9, 25 nebo 57 modulo 112 je reprezentovatelný přesně jednou z těchto kvadratických forem.
  • Prime p shodný s 1 nebo 169 modulo 240 je reprezentovatelný oběma nebo žádným z nich X2 + 150y2 a X2 + 960y2, zatímco prime p kongruentní na 49 nebo 121 modulo 240 je reprezentovatelný přesně jednou z těchto kvadratických forem.

Předpokládá se, že neexistují žádné další podobné výsledky zahrnující určité formy.

Poznámky

  1. ^ Kaplansky, Irving (2003), „The forms X + 32y2 a X + 64y^2 [sic ]", Proceedings of the American Mathematical Society, 131 (7): 2299–2300 (elektronický), doi:10.1090 / S0002-9939-03-07022-9, PAN  1963780.
  2. ^ Cox, David A. (1989), Prvočísla formy X2 + ny2, New York: John Wiley & Sons, ISBN  0-471-50654-0, PAN  1028322.
  3. ^ Brink, David (2009), „Pět zvláštních vět o simultánním znázornění prvočísel kvadratickými formami“, Žurnál teorie čísel, 129 (2): 464–468, doi:10.1016 / j.jnt.2008.04.007, PAN  2473893.