Kampyle z Eudoxu - Kampyle of Eudoxus

Graf Kampyle z Eudoxus s A = 1

The Kampyle z Eudoxu (řecký: καμπύλη [γραμμή], což znamená jednoduše „zakřivená [čára], křivka“) je křivka s Kartézská rovnice z

${ displaystyle x ^ {4} = a ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}),}$

ze kterého řešení X = y = 0 je vyloučeno.

Alternativní parametrizace

v polární souřadnice, Kampyle má rovnici

${ displaystyle r = a sec ^ {2} theta.}$

Ekvivalentně má parametrické vyjádření jako

${ Displaystyle x = a sec (t), quad y = a tan (t) sec (t).}$

Dějiny

Tento křivka křivky studoval řecký astronom a matematik Eudoxus z Cnidus (asi 408 př. n. l. - asi 347 př. n. l.) ve vztahu ke klasickému problému zdvojnásobení krychle.

Vlastnosti

Kampyle je symetrický kolem obou X- a y-sekery. Překračuje to X-osa v (±A, 0). Má to inflexní body na

${ displaystyle left ( pm a { frac { sqrt {6}} {2}}, pm a { frac { sqrt {3}} {2}} right)}$

(čtyři skloňování, jedna v každém kvadrantu). Horní polovina křivky je asymptotická ${ displaystyle x ^ {2} / a-a / 2}$ tak jako ${ displaystyle x to infty}$, a ve skutečnosti lze psát jako

${ displaystyle y = { frac {x ^ {2}} {a}} { sqrt {1 - { frac {a ^ {2}} {x ^ {2}}}}}} = { frac { x ^ {2}} {a}} - { frac {a} {2}} sum _ {n = 0} ^ { infty} C_ {n} left ({ frac {a} {2x} } vpravo) ^ {2n},}$

kde

${ displaystyle C_ {n} = { frac {1} {n + 1}} { binom {2n} {n}}}$

je ${ displaystyle n}$th Katalánské číslo.

Viz také

• Seznam křivek

Reference

• J. Dennis Lawrence (1972). Katalog speciálních rovinných křivek. Dover Publications. str.141–142. ISBN  0-486-60288-5.

externí odkazy

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., „Kampyle z Eudoxusu“, MacTutor Historie archivu matematiky, University of St Andrews.
• Weisstein, Eric W. „Kampyle z Eudoxusu“. MathWorld.