Kalmanova domněnka - Kalmans conjecture - Wikipedia

Obr. 1. Blokové schéma řídicího systému. G(s) - funkce lineárního přenosu, F(E) - jednohodnotová, spojitá, rozlišitelná funkce

Kalmanova domněnka nebo Kalmanov problém je vyvrácen dohad o absolutní stabilitě nelineární řízení systém s jednou skalární nelinearitou, která patří do sektoru lineární stability. Kalmanova domněnka je posílením Aizermanova domněnka a je to zvláštní případ Markus – Yamabe dohad. Ukázalo se, že tato domněnka byla nepravdivá, ale vedla k (platnému) dostatečná kritéria pro absolutní stabilitu.

Matematické tvrzení o Kalmanově domněnce (Kalmanova úloha)

V roce 1957 R. E. Kalman v jeho novinách[1] uvedl následující:

Li F(E) na obr. 1 je nahrazen konstantami K. odpovídající všem možným hodnotám F'(E), a bylo zjištěno, že systém uzavřené smyčky je pro všechny takové stabilní K., pak je intuitivně jasné, že systém musí být monostabilní; tj. všechna přechodná řešení budou konvergovat do jedinečného stabilního kritického bodu.

Kalmanovo prohlášení lze přeformulovat v následující domněnce:[2]

Uvažujme systém s jednou skalární nelinearitou

kde P je konstanta n×n matice, q, r jsou konstantní n-dimenzionální vektory, ∗ je operace transpozice, F(E) je skalární funkce a F(0) = 0. Předpokládejme, F(E) je diferencovatelná funkce a následující podmínka

je platný. Pak Kalmanova domněnka je, že systém je stabilní ve velkém (tj. Jedinečný stacionární bod je globální atraktor ) pokud všechny lineární systémy s F(E) = ke, k ∈ (k1, k2) jsou asymptoticky stabilní.

v Aizermanova domněnka místo podmínky na derivaci nelinearity se vyžaduje, aby nelinearita sama patřila do lineárního sektoru.

Kalmanova domněnka platí n ≤ 3 a pro n > 3 existují účinné metody konstrukce protipříkladů:[3][4] derivát nelinearity patří do sektoru lineární stability a existuje stabilní stabilní rovnováha se stabilním periodickým řešením (skrytá oscilace ).

V diskrétním čase platí Kalmanova domněnka pouze pro n = 1, protiklady pro n ≥ 2 mohou být konstruovány.[5][6]

Reference

  1. ^ Kalman R.E. (1957). "Fyzikální a matematické mechanismy nestability v nelineárních automatických řídicích systémech". Transakce ASME. 79 (3): 553–566.
  2. ^ Kuzněcov N.V. (2020). "Teorie skrytých oscilací a stabilita řídicích systémů" (PDF). Journal of Computer and Systems Sciences International. 59 (5): 647–668. doi:10.1134 / S1064230720050093.
  3. ^ Bragin V.O .; Vagaitsev V.I .; Kuzněcov N.V .; Leonov G.A. (2011). „Algoritmy pro hledání skrytých oscilací v nelineárních systémech. Aizermanovy a Kalmanovy domněnky a Chuovy obvody“ (PDF). Journal of Computer and Systems Sciences International. 50 (5): 511–543. doi:10.1134 / S106423071104006X.
  4. ^ Leonov G.A .; Kuzněcov N.V. (2013). „Skryté atraktory v dynamických systémech. Od skrytých oscilací u Hilberta-Kolmogorova, Aizermana a Kalmana po skryté chaotické atraktory v obvodech Chua“. International Journal of Bifurcation and Chaos. 23 (1): 1330002–219. Bibcode:2013 IJBC ... 2330002L. doi:10.1142 / S0218127413300024.
  5. ^ Carrasco J .; Heath W. P .; de la Sen M. (2015). „Protiklad druhého řádu ke kalmanské domněnce v diskrétním čase“. Evropská kontrolní konference 2015. doi:10.1109 / ECC.2015.7330669.
  6. ^ Heath W. P .; Carrasco J; de la Sen M. (2015). "Protiklady druhého řádu k Kalmanově domněnce v diskrétním čase". Automatika. 60: 140–144. doi:10.1016 / j.automatica.2015.07.005.

Další čtení

externí odkazy