Kadisonova věta o tranzitivitě - Kadison transitivity theorem

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Listopadu 2014) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, Kadisonova věta o tranzitivitě je výsledkem teorie C * -algebry že ve skutečnosti uplatňuje rovnocennost pojmů topologické neredukovatelnosti a algebraická neredukovatelnost reprezentací C * -algeber. To znamená, že pro neredukovatelné reprezentace C * -algeber je jediným nenulovým lineárním invariantním podprostorem celý prostor.

Věta, prokázaná Richard Kadison, bylo překvapivé jako a priori není důvod se domnívat, že všechny topologicky neredukovatelné reprezentace jsou také algebraicky neredukovatelné.

Prohlášení

Rodina ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ omezených operátorů na Hilbertově prostoru ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ prý jedná topologicky neredukovatelně když ${ displaystyle {0 }}$ a ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ jsou jediné uzavřené stabilní podprostory pod ${ displaystyle { mathcal {F}}}$. Rodina ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ prý jedná algebraicky neredukovatelně -li ${ displaystyle {0 }}$ a ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ jsou jediné lineární potrubí v ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ stabilní pod ${ displaystyle { mathcal {F}}}$.

Teorém. ^[1] Pokud je C * -algebra ${ displaystyle { mathfrak {A}}}$ působí topologicky neredukovatelně na Hilbertův prostor ${ displaystyle { mathcal {H}}, {y_ {1}, cdots, y_ {n} }}$ je sada vektorů a ${ displaystyle {x_ {1}, cdots, x_ {n} }}$ je lineárně nezávislá sada vektorů v ${ displaystyle { mathcal {H}}}$, tady je ${ displaystyle A}$ v ${ displaystyle { mathfrak {A}}}$ takhle ${ displaystyle Ax_ {j} = y_ {j}}$. Li ${ displaystyle Bx_ {j} = y_ {j}}$ pro nějakého samoadjungujícího operátora ${ displaystyle B}$, pak ${ displaystyle A}$ lze zvolit, aby byl sám přizpůsobený.

Důsledek. Pokud je C * -algebra ${ displaystyle { mathfrak {A}}}$ působí topologicky neredukovatelně na Hilbertův prostor ${ displaystyle { mathcal {H}}}$, pak jedná algebraicky neredukovatelně.

Reference

• Kadison, Richard (1957), „Neredukovatelné operátorské algebry“, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 43: 273–276, doi:10.1073 / pnas.43.3.273, PMC  528430, PMID  16590013.
• Kadison, R. V.; Ringrose, J. R., Základy teorie operátorových algeber, Sv. I: Elementární teorie, ISBN  978-0821808191