Funkce Jost - Jost function - Wikipedia

v teorie rozptylu, Funkce Jost je Wronskian pravidelného řešení a (nepravidelného) řešení Jost do diferenciální rovnice ${ displaystyle - psi '' + V psi = k ^ {2} psi}$ .To představil Res Jost.

Pozadí

Hledáme řešení ${ displaystyle psi (k, r)}$ k radiálu Schrödingerova rovnice v případě ${ displaystyle ell = 0}$ ,

{ displaystyle - psi '' + V psi = k ^ {2} psi.}

Pravidelná a nepravidelná řešení

A pravidelné řešení ${ displaystyle varphi (k, r)}$ je ten, který splňuje okrajové podmínky,

{ displaystyle { begin {zarovnáno} varphi (k, 0) & = 0 varphi _ {r} '(k, 0) & = 1. end {zarovnáno}}}

Li ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} r | V (r) | < infty}$ , řešení je uvedeno jako a Volterraova integrální rovnice,

{ displaystyle varphi (k, r) = k ^ {- 1} sin (kr) + k ^ {- 1} int _ {0} ^ {r} dr ' sin (k (r-r' )) V (r ') varphi (k, r').}

Máme dva nepravidelná řešení (někdy se tomu říká řešení Jost) ${ displaystyle f _ { pm}}$ s asymptotickým chováním ${ displaystyle f _ { pm} = e ^ { pm ikr} + o (1)}$ tak jako ${ displaystyle r to infty}$ . Jsou dány Volterraova integrální rovnice,

{ displaystyle f _ { pm} (k, r) = e ^ { pm ikr} -k ^ {- 1} int _ {r} ^ { infty} dr ' sin (k (r-r' )) V (r ') f _ { pm} (k, r').}

Li ${ displaystyle k neq 0}$ , pak ${ displaystyle f _ {+}, f _ {-}}$ jsou lineárně nezávislé. Jelikož se jedná o řešení diferenciální rovnice druhého řádu, každé řešení (zejména ${ displaystyle varphi}$ ) lze psát jako jejich lineární kombinaci.

Definice funkce Jost

The Funkce Jost je

${ displaystyle omega (k): = W (f _ {+}, varphi) equiv varphi _ {r} '(k, r) f _ {+} (k, r) - varphi (k, r ) f _ {+, x} '(k, r)}$ ,

kde W je Wronskian. Od té doby ${ displaystyle f _ {+}, varphi}$ jsou obě řešení stejné diferenciální rovnice, Wronskian je nezávislý na r. Takže hodnocení na ${ displaystyle r = 0}$ a použití okrajových podmínek na ${ displaystyle varphi}$ výnosy ${ displaystyle omega (k) = f _ {+} (k, 0)}$ .