Jacobiho metoda pro složité hermitovské matice - Jacobi method for complex Hermitian matrices

V matematice je Jacobiho metoda pro komplex Hermitovské matice je zobecněním Jacobiho iterační metoda. The Jacobiho iterační metoda je také vysvětleno v „Úvod do lineární algebry“ od Strang (1993).

Derivace

Komplex unitární otáčení matice R_pq lze použít pro Jacobiho iterace komplexu Hermitovské matice za účelem nalezení numerického odhadu jejich vlastních vektorů a vlastních čísel současně.

Podobně jako u Dává rotační matice, R_pq jsou definovány jako:

${ displaystyle { begin {aligned} (R_ {pq}) _ {m, n} & = delta _ {m, n} & qquad m, n neq p, q, [10 bodů] (R_ {pq}) _ {p, p} & = { frac {+1} { sqrt {2}}} e ^ {- i theta}, [10pt] (R_ {pq}) _ {q , p} & = { frac {+1} { sqrt {2}}} e ^ {- i theta}, [10pt] (R_ {pq}) _ {p, q} & = { frac {-1} { sqrt {2}}} e ^ {+ i theta}, [10 bodů] (R_ {pq}) _ {q, q} & = { frac {+1} { sqrt {2}}} e ^ {+ i theta} end {zarovnáno}}}$

Každá rotační matice, R_pq, upraví pouze pth a qřádky nebo sloupce matice M pokud se aplikuje zleva nebo zprava:

${ displaystyle { begin {aligned} (R_ {pq} M) _ {m, n} & = { begin {cases} M_ {m, n} & m neq p, q [8pt] { frac {1} { sqrt {2}}} (M_ {p, n} e ^ {- i theta} -M_ {q, n} e ^ {+ i theta}) & m = p [8 bodů] { frac {1} { sqrt {2}}} (M_ {p, n} e ^ {- i theta} + M_ {q, n} e ^ {+ i theta}) & m = q end {cases}} [8pt] (MR_ {pq} ^ { dagger}) _ {m, n} & = { begin {cases} M_ {m, n} & n neq p, q { frac {1} { sqrt {2}}} (M_ {m, p} e ^ {+ i theta} -M_ {m, q} e ^ {- i theta}) & n = p [8 bodů ] { frac {1} { sqrt {2}}} (M_ {m, p} e ^ {+ i theta} + M_ {m, q} e ^ {- i theta}) & n = q end {cases}} end {aligned}}}$

A Hermitova matice, H je definována vlastností konjugované transpoziční symetrie:

${ displaystyle H ^ { dagger} = H Leftrightarrow H_ {i, j} = H_ {j, i} ^ {*}}$

Podle definice je komplexní konjugát komplexu unitární otáčení matice, R je jeho inverzní a také komplexní unitární otáčení matice:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} R_ {pq} ^ { dagger} & = R_ {pq} ^ {- 1} [6pt] Rightarrow R_ {pq} ^ { dagger ^ { dagger} } & = R_ {pq} ^ {- 1 ^ { dagger}} = R_ {pq} ^ {- 1 ^ {- 1}} = R_ {pq}. End {zarovnáno}}}$

Komplexní ekvivalent Dává transformaci ${ displaystyle T}$ a Hermitova matice H je také a Hermitova matice podobný H:

${ displaystyle { begin {aligned} T & equiv R_ {pq} HR_ {pq} ^ { dagger}, && [6pt] T ^ { dagger} & = (R_ {pq} HR_ {pq} ^ { dagger}) ^ { dagger} = R_ {pq} ^ { dagger ^ { dagger}} H ^ { dagger} R_ {pq} ^ { dagger} = R_ {pq} HR_ {pq} ^ { dagger} = T end {zarovnáno}}}$

Prvky T lze vypočítat z výše uvedených vztahů. Důležité prvky pro Jacobiho iterace jsou následující čtyři:

${ displaystyle { begin {array} {clrcl} T_ {p, p} & = && { frac {H_ {p, p} + H_ {q, q}} {2}} & - mathrm {Re} {H_ {p, q} e ^ {- 2i theta} }, [8pt] T_ {p, q} & = && { frac {H_ {p, p} -H_ {q , q}} {2}} & + i mathrm {Im} {H_ {p, q} e ^ {- 2i theta} }, [8pt] T_ {q, p} & = && { frac {H_ {p, p} -H_ {q, q}} {2}} & - i mathrm {Im} {H_ {p, q} e ^ {- 2i theta} }, [8pt] T_ {q, q} & = && { frac {H_ {p, p} + H_ {q, q}} {2}} & + mathrm {Re} { H_ {p, q} e ^ {- 2i theta} }. End {pole}}}$

Každý Jacobiho iterace s R^J_pq generuje transformovanou matici, T^J, s T^J_p,q = 0. Rotační matice R^J_p,q je definován jako produkt dvou komplexů unitární otáčení matice.

${ displaystyle { begin {aligned} R_ {pq} ^ {J} & equiv R_ {pq} ( theta _ {2}) , R_ {pq} ( theta _ {1}), { text {with}} [8pt] theta _ {1} & equiv { frac {2 phi _ {1} - pi} {4}} { text {and}} theta _ {2} equiv { frac { phi _ {2}} {2}}, end {zarovnáno}}}$

kde fázové podmínky, ${ displaystyle phi _ {1}}$ a ${ displaystyle phi _ {2}}$ jsou dány:

${ displaystyle { begin {aligned} tan phi _ {1} & = { frac { mathrm {Im} {H_ {p, q} }} { mathrm {Re} {H_ {p , q} }}}, [8pt] tan phi _ {2} & = { frac {2 | H_ {p, q} |} {H_ {p, p} -H_ {q, q }}}. end {zarovnáno}}}$

Nakonec je důležité si uvědomit, že součin dvou komplexních rotačních matic pro dané úhly θ₁ a θ₂ nelze transformovat do jediné komplexní matice jednotné rotace R_pq(θ). Produkt dvou komplexních rotačních matic je dán vztahem:

${ displaystyle { begin {aligned} left [R_ {pq} ( theta _ {2}) , R_ {pq} ( theta _ {1}) right] _ {m, n} = { začít {případy} delta _ {m, n} & m, n neq p, q, [8pt] -ie ^ {- i theta _ {1}} , sin { theta _ {2}} & m = p { text {and}} n = p, [8pt] -e ^ {+ i theta _ {1}} , cos { theta _ {2}} & m = p { text {and}} n = q, [8pt] e ^ {- i theta _ {1}} , cos { theta _ {2}} & m = q { text {and}} n = p, [8pt] + tj. ^ {+ i theta _ {1}} , sin { theta _ {2}} & m = q { text {and}} n = q. end {cases}} end {aligned}}}$

Reference

• Strang, G. (1993), Úvod do lineární algebry, MA: Wellesley Cambridge Press.