Okamžitá fáze a frekvence - Instantaneous phase and frequency

Okamžitá fáze a frekvence jsou důležité pojmy v zpracování signálu které se vyskytují v kontextu reprezentace a analýzy časově proměnných funkcí.^[1] The okamžitá fáze (také známý jako místní fáze nebo jednoduše fáze) a komplexní funkce s(t), je funkce se skutečnou hodnotou:

${ displaystyle varphi (t) = arg {s (t) },}$

kde arg je funkce komplexního argumentu.v okamžitá frekvence je časová rychlost okamžité fáze.

A pro skutečný funkce s(t), určuje se z funkce analytická reprezentace, s_A(t):^[2]

${ displaystyle { begin {zarovnaný} varphi (t) & = arg {s _ { mathrm {a}} (t) } [4pt] & = arg {s (t) + j { hat {s}} (t) }. end {zarovnáno}}}$

Když φ(t) je omezen na hlavní hodnota, buď interval (-π, π] nebo [0, 2π), to se nazývá zabalená fáze. Jinak se tomu říká rozbalená fáze, což je spojitá funkce argumentu t, za předpokladu s_A(t) je spojitá funkce t. Pokud není uvedeno jinak, měla by být odvozena souvislá forma.

Okamžitá fáze vs. čas.

Příklady

Příklad 1

${ displaystyle s (t) = A cos ( omega t + theta),}$

kde ω > 0.

${ displaystyle s _ { mathrm {a}} (t) = Ae ^ {j ( omega t + theta)},}$

${ displaystyle varphi (t) = omega t + theta.}$

V tomto jednoduchém sinusovém příkladu konstanta θ se také běžně označuje jako fáze nebo fázový posun. φ(t) je funkcí času; θ není. V dalším příkladu také vidíme, že fázový posun sinusoidy se skutečnou hodnotou je nejednoznačný, pokud není zadán odkaz (sin nebo cos). φ(t) je jednoznačně definován.

Příklad 2

${ displaystyle s (t) = A sin ( omega t) = A cos ( omega t- pi / 2),}$

kde ω > 0.

${ displaystyle s _ { mathrm {a}} (t) = Ae ^ {j ( omega t- pi / 2)},}$

${ displaystyle varphi (t) = omega t- pi / 2.}$

V obou příkladech lokální maxima s(t) odpovídají φ(t) = 2πN pro celočíselné hodnotyN. To má aplikace v oblasti počítačového vidění.

Okamžitá frekvence

Okamžitá úhlová frekvence je definován jako:

${ displaystyle omega (t) = { frac {d varphi (t)} {dt}},}$

a okamžitá (běžná) frekvence je definován jako:

${ displaystyle { begin {aligned} f (t) & = { tfrac {1} {2 pi}} omega (t) [4pt] & = { tfrac {1} {2 pi} } { frac {d varphi (t)} {dt}} end {zarovnáno}}}$

kde φ(t) musí být rozbaleno okamžitý fázový úhel. Li φ(t) je zabalen, nespojitosti v φ(t) bude mít za následek Diracova delta impulsy dovnitř F(t).

Inverzní operace, která vždy rozbalí fázi, je:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} varphi (t) & = int _ {- infty} ^ {t} omega ( tau) , d tau = 2 pi int _ {- infty } ^ {t} f ( tau) , d tau [5pt] & = int _ {- infty} ^ {0} omega ( tau) , d tau + int _ { 0} ^ {t} omega ( tau) , d tau [5pt] & = varphi (0) + int _ {0} ^ {t} omega ( tau) , d tau. end {zarovnáno}}}$

Tato okamžitá frekvence, ω(t), lze odvodit přímo z skutečné a imaginární části z s_A(t), místo komplexní arg bez obav z rozbalení fáze.

${ displaystyle { begin {aligned} varphi (t) & = arg {s _ { mathrm {a}} (t) } [4pt] & = operatorname {atan2} ( Im { s _ { mathrm {a}} (t) }, Re {s _ { mathrm {a}} (t) }) + 2m_ {1} pi [4pt] & = arctan left ({ frac { Im {s _ { mathrm {a}} (t) }} { Re {s _ { mathrm {a}} (t) }}} vpravo) + m_ {2 } pi end {zarovnáno}}}$

2m₁π a m₂π jsou celočíselné násobky π nutné přidat k rozbalení fáze. V hodnotách času t, kde nedojde ke změně na celé číslo m₂, derivát φ(t) je

${ displaystyle { begin {aligned} omega (t) & = { frac {d varphi (t)} {dt}} & = { frac {d} {dt}} arctan left ( { frac { Im {s _ { mathrm {a}} (t) }} { Re {s _ { mathrm {a}} (t) }}} vpravo) & = { frac {1} {1+ left ({ frac { Im {s _ { mathrm {a}} (t) }} { Re {s _ { mathrm {a}} (t ) }}} vpravo) ^ {2}}} { frac {d} {dt}} vlevo ({ frac { Im {s _ { mathrm {a}} (t) }} { Re {s _ { mathrm {a}} (t) }}} vpravo) & = { frac { Re {s _ { mathrm {a}} (t) } { frac {d Im {s _ { mathrm {a}} (t) }} {dt}} - Im {s _ { mathrm {a}} (t) } { frac {d Re {s _ { mathrm {a}} (t) }} {dt}}} {( Re {s _ { mathrm {a}} (t) }) ^ {2} + ( Im {s _ { mathrm {a}} (t) }) ^ {2}}} & = { frac {1} {| s _ { mathrm {a}} (t) | ^ { 2}}} left ( Re {s _ { mathrm {a}} (t) } { frac {d Im {s _ { mathrm {a}} (t) }} {dt} } - Im {s _ { mathrm {a}} (t) } { frac {d Re {s _ { mathrm {a}} (t) }} {dt}} vpravo) & = { frac {1} {(s (t)) ^ {2} + (({ hat {s}} (t)) ^ {2}}} left (s (t) { frac {d { hat {s}} (t)} {dt}} - { hat {s}} (t) { frac {ds (t)} {dt}} right) end {zarovnáno}} }$

U funkcí diskrétního času to lze zapsat jako rekurzi:

${ displaystyle varphi [n] = varphi [n-1] + omega [n] = varphi [n-1] + podpona { arg {s _ { mathrm {a}} [n] } - arg {s _ { mathrm {a}} [n-1] }} _ { Delta varphi [n]}.}$

Diskontinuity lze poté odstranit přidáním 2π kdykoli Δφ[n] ≤ −πa odečtením 2π kdykoli Δφ[n] > π. To umožňuje φ[n] hromadit bez omezení a vytváří nerozbalenou okamžitou fázi. Ekvivalentní formulace, která nahrazuje modul 2π operace se složitým násobením je:

${ displaystyle varphi [n] = varphi [n-1] + arg {s _ { mathrm {a}} [n] , s _ { mathrm {a}} ^ {*} [n-1 ] },}$

kde hvězdička označuje komplexní konjugát. Okamžitá frekvence v diskrétním čase (v jednotkách radiánů na vzorek) je jednoduše posunem fáze pro daný vzorek

${ displaystyle omega [n] = arg {s _ { mathrm {a}} [n] , s _ { mathrm {a}} ^ {*} [n-1] }.}$

Komplexní zastoupení

V některých aplikacích, jako je průměrování hodnot fáze v několika okamžicích, může být užitečné převést každou hodnotu na komplexní číslo nebo na vektorovou reprezentaci:^[3]

${ displaystyle { begin {aligned} e ^ {i varphi (t)} & = { frac {s _ { mathrm {a}} (t)} {| s _ { mathrm {a}} (t) |}} [4pt] & = cos ( varphi (t)) + i sin ( varphi (t)). End {zarovnáno}}}$

Tato reprezentace je podobná zabalené fázové reprezentaci v tom, že nerozlišuje mezi násobky 2π ve fázi, ale podobná rozbalené fázové reprezentaci, protože je spojitá. Fázi průměrného vektoru lze získat jako arg součtu komplexních čísel bez obav z obtočení.

Viz také

• Analytický signál
• Frekvenční modulace
• Okamžitá amplituda

Reference

Další čtení

• Cohen, Leon (1995). Časově-frekvenční analýza. Prentice Hall.
• Granlund; Knutsson (1995). Zpracování signálu pro počítačové vidění. Kluwer Academic Publishers.