Neoddělitelná diferenciální rovnice - Inseparable differential equation

tento článek ne uvést žádný Zdroje. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Neoddělitelná diferenciální rovnice“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Prosince 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, an neoddělitelná diferenciální rovnice je obyčejná diferenciální rovnice to nelze vyřešit použitím oddělení proměnných. K vyřešení neoddělitelné diferenciální rovnice lze použít řadu dalších metod, například Laplaceova transformace, substituce, atd.

Příklady

Zvažte obecnou neoddělitelnou rovnici

${ displaystyle { frac {dy} {dx}} + p (x) y = q (x)}$

Nyní definujeme speciální faktoriál, μ tak jako

${ displaystyle mu = e ^ { int p (x) dx}}$

Tím pádem:

${ displaystyle { frac {d mu} {dx}} = (e ^ { int p (x) dx}) { frac {d} {dx}} ( int p (x) dx)}$

${ displaystyle { frac {d mu} {dx}} = mu p (x)}$

Odtud můžeme rovnici vyřešit pomocí výše uvedené definice:

${ displaystyle mu { frac {dy} {dx}} + mu p (x) y = mu q (x)}$

${ displaystyle mu { frac {dy} {dx}} + y { frac {d mu} {dx}} = mu q (x)}$

(použití pravidla produktu obráceně)

${ displaystyle { frac {d} {dx}} ( mu y) = mu q (x)}$

${ displaystyle mu y = int mu q (x) dx}$

Nakonec získáme:

${ displaystyle y = { frac { int mu q (x) dx} { mu}}}$

To lze použít k řešení většiny všech neoddělitelných rovnic obsahujících ne y na jiný stupeň než jeden. Například řešení neoddělitelné rovnice:

${ displaystyle { frac {dy} {dx}} = x + y}$

${ displaystyle { frac {dy} {dx}} - y = x}$

Uspořádáním v požadované formě získáme:

${ displaystyle p (x) = - 1 }$

${ displaystyle q (x) = x }$

${ displaystyle { frac {dy} {dx}} + p (x) y = q (x)}$

Nyní vše, co je nutné, je najít hodnotu μ zapojit do naší původní rovnice ${ displaystyle y = { frac { int mu q (x) dx} { mu}}.}$

${ displaystyle mu = e ^ { int p (x) dx} = e ^ { int -1dx} = e ^ {- x}}$

Když to zapojíme do původní rovnice a zjednodušíme, dostaneme naši konečnou odpověď:

${ displaystyle y = { frac { int xe ^ {- x}} {e ^ {- x}}}}$

${ displaystyle y = e ^ {x} (- xe ^ {- x} -e ^ {- x} + C) }$

${ displaystyle y = Ce ^ {x} -x-1 }$

Zvažte například neoddělitelnou rovnici

${ displaystyle 2y '' + 3y '+ y = 5. }$

Vyřešme to pomocí Laplaceovy transformace. Jeden to má

${ displaystyle { mathcal {L}} {f '} = s { mathcal {L}} {f } - f (0)}$

${ displaystyle { mathcal {L}} {f '' } = s ^ {2} { mathcal {L}} {f } - sf (0) -f '(0)}$

${ displaystyle { mathcal {L}} vlevo {f ^ {(n)} vpravo } = s ^ {n} { mathcal {L}} {f } - s ^ {n-1 } f (0) - cdots -f ^ {(n-1)} (0).}$

S využitím výhod, které Laplaceovy transformace dodržují pravidla linearity, lze vyřešit výše uvedený příklad y provedením Laplaceovy transformace na obou stranách diferenciální rovnice, dosazením do počátečních hodnot, řešením transformované funkce a provedením inverzní transformace.

U výše uvedeného příkladu předpokládejme, že počáteční hodnoty jsou ${ displaystyle y (0) = 0}$ a ${ displaystyle y '(0) = 0.}$ Pak,

${ displaystyle 2 (s ^ {2} Y-s cdot 0-0) +3 (sY-0) + Y = { frac {5} {s}}.}$

Z toho vyplývá, že

${ displaystyle (2s + 1) (s + 1) Y = { frac {5} {s}}}$

nebo

${ displaystyle Y = { frac {5} {s (2s + 1) (s + 1)}}.}$

Nyní lze jednoduše převést inverzní Laplaceovu transformaci Y získat řešení y k původní rovnici.

Viz také

• příklady diferenciálních rovnic
• metoda změny parametrů