Hysteretický model - Hysteretic model

Hysteretické modely jsou matematické modely schopný simulovat charakterizaci komplexního nelineárního chování mechanické systémy a materiály používané v různých oblastech strojírenství, jako je např letecký a kosmický průmysl, civilní, a mechanické inženýrství. Některé příklady mechanických systémů a materiálů majících a hysterický chování jsou:

materiály, jako např ocel, železobeton, dřevo;
konstrukční prvky, jako jsou ocel, železobeton nebo dřevěné spáry;
zařízení, jako jsou seismické izolátory^[1] a tlumiče.

Hysteretické modely může mít generalizovaný posun ${ displaystyle u}$ jako vstupní proměnná a zobecněná síla ${ displaystyle f}$ jako výstupní proměnná nebo naopak. Zejména v hysteretických modelech nezávislých na rychlosti výstupní proměnná nezávisí na rychlosti variace vstupní.^[2]^[3]

Hysteretické modely nezávislé na rychlosti lze rozdělit do čtyř různých kategorií v závislosti na typu rovnice, kterou je třeba vyřešit pro výpočet výstupní proměnné:

Algebraické modely
Transcendentální modely
Diferenciální modely
Integrované modely

Algebraické modely

V algebraických modelech je výstupní proměnná vypočítána řešením algebraické rovnice.

Bilineární model

Modelová formulace

V bilineárním modelu formulovaném Vaianou a kol. (2018),^[4] zobecněná síla v čase t, představující výstupní proměnnou, se vyhodnotí jako funkce zobecněného posunutí následovně:

 ${ displaystyle f_ {t} = k_ {a} left (u_ {t} -u_ {j} right) + k_ {b} u_ {j} + s_ {t} f_ {0} { text {když }} u_ {t} s_ {t}$

 ${ displaystyle f_ {t} = k_ {b} u_ {j} + s_ {t} f_ {0} { text {when}} u_ {t} s_ {t}> u_ {j} s_ {t}, }$

kde ${ displaystyle k_ {a}, k_ {b},}$ a ${ displaystyle f_ {0}}$ jsou tři parametry modelu, které mají být kalibrovány z experimentálních nebo numerických testů, zatímco ${ displaystyle s_ {t}}$ je znamením zobecněné rychlosti v čase ${ displaystyle t}$ , to znamená, ${ displaystyle s_ {t} = operatorname {sign} ({ dot {u}} _ {t})}$ . Dále ${ displaystyle u_ {0}}$ je parametr interního modelu vyhodnocen jako:

 ${ displaystyle u_ {0} = { frac {f_ {0}} {k_ {a} -k_ {b}}},}$

zatímco ${ displaystyle u_ {j}}$ je proměnná historie:

 ${ displaystyle u_ {j} = { frac {k_ {a} u_ {t- Delta t} + s_ {t} f_ {0} -f_ {t- Delta t}} {k_ {a} -k_ {b}}}}$ .

Hysterezní tvary smyčky

Obrázek 1.1 ukazuje dva různé hysterezní smyčka tvary získané použitím sinusového zobecněného posunutí s jednotkou amplituda a frekvence a simulovány přijetím parametrů bilineárního modelu (BM) uvedených v tabulce 1.1.

Obrázek 1.1. Hysterezní smyčky reprodukované pomocí parametrů modelu BM v tabulce 1.1

Tabulka 1.1 - Parametry BM
	${ displaystyle k_ {a}}$	${ displaystyle k_ {b}}$	${ displaystyle f_ {0}}$
(A)	10.0	1.0	0.5
b)	10.0	-1.0	0.5

Kód Matlabu

%  =========================================================================================% Červen 2020Algoritmus bilineárního modelu%% Nicolò Vaiana, výzkumný pracovník ve strukturální mechanice a dynamice, PhD % Katedra konstrukcí pro inženýrství a architekturu % Neapolská univerzita Federico II% přes Claudio, 21 - 80124, Napoli%  =========================================================================================clc; Průhledná Všechno; zavřít Všechno;%% POUŽITÁ HISTORIE ČASU VÝMĚNYdt = 0.001;                                                                % časový krokt  = 0: dt: 1,50;                                                            %časový intervala0 = 1;                                                                    % aplikovaná amplituda posunutífr = 1;                                                                    % použitá frekvence posunutíu  = a0 * sin ((2 * pi * fr) * t (1: délka (t)));                                     % použitého vektoru posunutíproti  = 2 * pi * fr * a0 * cos ((2 * pi * fr) * t (1: délka (t)));                             % použitého vektoru rychlostin  = délka (u);                                                            % použité délky vektoru posunutí%% 1. POČÁTEČNÍ NASTAVENÍ% 1.1 Nastavte pět parametrů modeluka = 10.0;                                                                 % parametru modelukb = 1.0;                                                                  % parametru modeluf0 = 0.5;                                                                  % parametru modelu% 1.2 Vypočítejte vnitřní parametry modelu u0 = f0/(ka-kb);                                                           % interního parametru modelu% 1.3 Inicializuje zobecněný vektor silF  = nuly (1, n);%% 2. VÝPOČTY KAŽDÝ KROK KROKUpro i = 2: n% 2.1 Aktualizujte proměnnou historieuj = (ka*u(i-1)+podepsat(proti(i))*f0-F(i-1))/(ka-kb);% 2.2 Vyhodnoťte zobecněnou sílu v čase t-li (podepsat(proti(i))*uj)-2*u0 < podepsat(proti(i))*u(i) && podepsat(proti(i))*u(i) < podepsat(proti(i))*uj    F(i) = ka*(u(i)-uj)+kb*uj+podepsat(proti(i))*f0;jinýf (i) = kb * u (i) + znaménko (v (i)) * f0;koneckonec%% SPIKNUTÍpostavaplot (u, f, 'k', 'šířka řádku', 4)soubor(gca,'Velikost písma',28)soubor(gca,'FontName','Times New Roman')xlabel(„generalizovaný posun“), ylabel(‚zobecněná síla ')mřížkaoddálit

Algebraický model od Vaiany a kol. (2019)

Modelová formulace

V algebraickém modelu vyvinutém Vaianou a kol. (2019),^[5] zobecněná síla v čase ${ displaystyle t}$ , představující výstupní proměnnou, se vyhodnotí jako funkce zobecněného posunutí následovně:

 ${ displaystyle f_ {t} = beta _ {1} u_ {t} ^ {3} + beta _ {2} u_ {t} ^ {5} + k_ {b} u_ {t} + vlevo ( k_ {a} -k_ {b} vpravo) doleva [{ frac {(1 + s_ {t} u_ {t} -s_ {t} u_ {j} + 2u_ {0}) ^ {1- alpha}} {s_ {t} (1- alpha)}} - { frac {(1 + 2u_ {0}) ^ {1- alpha}} {s_ {t} (1- alpha)}} right] + s_ {t} f_ {0} { text {when}} u_ {t} s_ {t}$

 ${ displaystyle f_ {t} = beta _ {1} u_ {t} ^ {3} + beta _ {2} u_ {t} ^ {5} + k_ {b} u_ {t} + s_ {t } f_ {0} { text {when}} u_ {t} s_ {t}> u_ {j} s_ {t},}$

kde ${ displaystyle k_ {a}, k_ {b}, alpha}$ , ${ displaystyle beta _ {1}}$ a ${ displaystyle beta _ {2}}$ je pět parametrů modelu, které mají být kalibrovány z experimentálních nebo numerických testů, zatímco ${ displaystyle s_ {t}}$ je znamením zobecněné rychlosti v čase ${ displaystyle t}$ , to znamená, ${ displaystyle s_ {t} = operatorname {sign} ({ dot {u}} _ {t})}$ . Dále ${ displaystyle u_ {0}}$ a ${ displaystyle f_ {0}}$ jsou dva parametry interního modelu vyhodnoceny jako:

 ${ displaystyle u_ {0} = { frac {1} {2}} left [ left ({ frac {k_ {a} -k_ {b}} {10 ^ {- 20}}} right) ^ {1 / alpha} -1 right],}$

 ${ displaystyle f_ {0} = { frac {k_ {a} -k_ {b}} {2}} left [{ frac { left (1 + 2u_ {0} right) ^ {1- alpha} -1} {1- alpha}} right],}$

zatímco ${ displaystyle u_ {j}}$ je proměnná historie:

 ${ displaystyle u_ {j} = u_ {t- Delta t} + s_ {t} (1 + 2u_ {0}) - s_ {t} left lbrace { frac {s_ {t} (1- alfa)} {k_ {a} -k_ {b}}} vlevo [f_ {t- Delta t} - beta _ {1} u_ {t- Delta t} ^ {3} - beta _ { 2} u_ {t- Delta t} ^ {5} -k_ {b} u_ {t- Delta t} -s_ {t} f_ {0} + (k_ {a} -k_ {b}) { frac {(1 + 2u_ {0}) ^ {1- alpha}} {s_ {t} (1- alpha)}} right] right rbrace ^ {1 / (1- alpha)}. }$

Hysterezní tvary smyčky

Obrázek 1.2 ukazuje čtyři různé hysterezní smyčka tvary získané použitím sinusového zobecněného posunutí s jednotkou amplituda a frekvence a simulovány přijetím parametrů algebraického modelu (AM) uvedených v tabulce 1.2.

Obrázek 1.2. Hysterezní smyčky reprodukované pomocí parametrů modelu AM v tabulce 1.2

Tabulka 1.2 - Parametry AM
	${ displaystyle k_ {a}}$	${ displaystyle k_ {b}}$	${ displaystyle alpha}$	${ displaystyle beta _ {1}}$	${ displaystyle beta _ {2}}$
(A)	10.0	1.0	10.0	0.0	0.0
b)	10.0	1.0	10.0	0.2	0.2
(C)	10.0	1.0	10.0	−0.2	−0.2
d)	10.0	1.0	10.0	−1.2	1.2

Kód Matlabu

 1 %  ========================================================================================= 2 % Září 2019 3 Algebraický model algoritmu 4 % Nicolò Vaiana, postdoktorandský výzkumný pracovník, PhD  5 % Katedra konstrukcí pro inženýrství a architekturu  6 % Neapolská univerzita Federico II 7 % přes Claudio, 21 - 80125, Napoli 8 %  ========================================================================================= 9 10 clc; Průhledná Všechno; zavřít Všechno;11 12 %% POUŽITÁ HISTORIE ČASU VÝMĚNY13 14 dt = 0.001;                                                                % časový krok15 t  = 0: dt: 1,50;                                                            %časový interval16 a0 = 1;                                                                    % aplikovaná amplituda posunutí17 fr = 1;                                                                    % použitá frekvence posunutí18 u  = a0 * sin ((2 * pi * fr) * t (1: délka (t)));                                     % použitého vektoru posunutí19 proti  = 2 * pi * fr * a0 * cos ((2 * pi * fr) * t (1: délka (t)));                             % použitého vektoru rychlosti20 n  = délka (u);                                                            % použité délky vektoru posunutí21 22 %% 1. POČÁTEČNÍ NASTAVENÍ23 % 1.1 Nastavte pět parametrů modelu24 ka  = 10.0;                                                              % parametru modelu25 kb  = 1.0;                                                               % parametru modelu26 alfa  = 10.0;                                                              % parametru modelu27 beta1 = 0.0;                                                               % parametru modelu28 beta2 = 0.0;                                                               % parametru modelu29 % 1.2 Vypočítejte vnitřní parametry modelu 30 u0  = (1/2) * (((((ka-kb) / 10 ^ -20) ^ (1 / alfa)) - 1);                             % interního parametru modelu31 f0  = ((ka-kb) / 2) * ((((((1 + 2 * u0) ^ (1-alfa)) - 1) / (1-alfa));                    % interního parametru modelu32 % 1.3 Inicializuje zobecněný vektor sil33 F  = nuly (1, n);34 35 %% 2. VÝPOČTY KAŽDÝ KROK KROKU36 37 pro i = 2: n38 % 2.1 Aktualizujte proměnnou historie39 uj = u(i-1)+podepsat(proti(i))*(1+2*u0)-podepsat(proti(i))*((((podepsat(proti(i))*(1-alfa))/(ka-kb))*(F(i-1)-beta1*u(i-1)^3-beta2*u(i-1)^5-kb*u(i-1)-podepsat(proti(i))*f0+(ka-kb)*(((1+2*u0)^(1-alfa))/(podepsat(proti(i))*(1-alfa)))))^(1/(1-alfa)));40 % 2.2 Vyhodnoťte zobecněnou sílu v čase t41 -li (podepsat(proti(i))*uj)-2*u0 < podepsat(proti(i))*u(i) || podepsat(proti(i))*u(i) < podepsat(proti(i))*uj42     F(i) = beta1*u(i)^3+beta2*u(i)^5+kb*u(i)+(ka-kb)*((((1+2*u0+podepsat(proti(i))*(u(i)-uj))^(1-alfa))/(podepsat(proti(i))*(1-alfa)))-(((1+2*u0)^(1-alfa))/(podepsat(proti(i))*(1-alfa))))+podepsat(proti(i))*f0;43 jiný44 f (i) = beta1 * u (i) ^ 3 + beta2 * u (i) ^ 5 + kb * u (i) + znaménko (v (i)) * f0;45 konec46 konec47 48 %% SPIKNUTÍ49 postava50 plot (u, f, 'k', 'šířka řádku', 4)51 soubor(gca, 'Velikost písma', 28)52 soubor(gca, 'FontName', 'Times New Roman')53 xlabel(„generalizovaný posun“), ylabel(„zobecněná síla“)54 mřížka55 oddálit

Transcendentální modely

V transcendentálních modelech je výstupní proměnná vypočítána řešením transcendentální rovnice, jmenovitě rovnice zahrnující trigonometrický, inverzní trigonometrický, exponenciální, logaritmický a / nebo hyperbolický funkce.

Exponenciální modely

Exponenciální model Vaiana et al. (2018)

Modelová formulace

V exponenciálním modelu vyvinutém Vaianou a kol. (2018),^[4] zobecněná síla v čase ${ displaystyle t}$ , představující výstupní proměnnou, se vyhodnotí jako funkce zobecněného posunutí následovně:

 ${ displaystyle f_ {t} = - 2 beta u_ {t} + e ^ { beta u_ {t}} - e ^ {- beta u_ {t}} + k_ {b} u_ {t} -s_ {t} { frac {k_ {a} -k_ {b}} { alpha}} left [e ^ {- alpha (u_ {t} s_ {t} -u_ {j} s_ {t} + 2u_ {0})} - e ^ {- 2 alpha u_ {0}} right] + f_ {0} s_ {t} { text {when}} u_ {t} s_ {t}$

 ${ displaystyle f_ {t} = - 2 beta u_ {t} + e ^ { beta u_ {t}} - e ^ {- beta u_ {t}} + k_ {b} u_ {t} + f_ {0} s_ {t} { text {when}} u_ {t} s_ {t}> u_ {j} s_ {t},}$

kde ${ displaystyle k_ {a}, k_ {b}, alpha}$ a ${ displaystyle beta}$ jsou čtyři parametry modelu, které mají být kalibrovány z experimentálních nebo numerických testů, zatímco ${ displaystyle s_ {t}}$ je znamením zobecněné rychlosti v čase ${ displaystyle t}$ , to znamená, ${ displaystyle s_ {t} = operatorname {sign} ({ dot {u}} _ {t})}$ . Dále ${ displaystyle u_ {0}}$ a ${ displaystyle f_ {0}}$ jsou dva parametry interního modelu vyhodnoceny jako:

 ${ displaystyle u_ {0} = - { frac {1} {2 alpha}} ln left ({ frac {10 ^ {- 20}} {k_ {a} -k_ {b}}} že jo),}$

 ${ displaystyle f_ {0} = { frac {k_ {a} -k_ {b}} {2 alpha}} vlevo (1-e ^ {- 2 alpha u_ {0}} vpravo),}$

zatímco ${ displaystyle u_ {j}}$ je proměnná historie:

 ${ displaystyle u_ {j} = u_ {t- Delta t} + 2u_ {0} s_ {t} + { frac {s_ {t}} { alpha}} ln left [{ frac { alfa s_ {t}} {k_ {a} -k_ {b}}} vlevo (-2 beta u_ {t- Delta t} + e ^ { beta u_ {t- Delta t}} - e ^ {- beta u_ {t- Delta t}} + k_ {b} u_ {t- Delta t} + { frac {k_ {a} -k_ {b}} { alpha}} s_ {t } e ^ {- 2 alpha u_ {0}} + f_ {0} s_ {t} -f_ {t- Delta t} doprava) doprava].}$

Hysterezní tvary smyčky

Obrázek 2.1 ukazuje čtyři různé hysterezní smyčka tvary získané použitím sinusového zobecněného posunutí s jednotkou amplituda a frekvence a simulovány přijetím parametrů exponenciálního modelu (EM) uvedených v tabulce 2.1.

Obrázek 2.1. Hysterezní smyčky reprodukované pomocí parametrů modelu EM v tabulce 2.1.

Tabulka 2.1 - EM parametry
	${ displaystyle k_ {a}}$	${ displaystyle k_ {b}}$	${ displaystyle alpha}$	${ displaystyle beta}$
(A)	5.0	0.5	5.0	0.0
b)	5.0	−0.5	5.0	0.0
(C)	5.0	0.5	5.0	1.0
d)	5.0	0.5	5.0	−1.0

Kód Matlabu

 1 %  ========================================================================================= 2 % Září 2019 3 Algoritmus exponenciálního modelu% 4 % Nicolò Vaiana, postdoktorandský výzkumný pracovník, PhD  5 % Katedra konstrukcí pro inženýrství a architekturu  6 % Neapolská univerzita Federico II 7 % přes Claudio, 21 - 80125, Napoli 8 %  ========================================================================================= 9 10 clc; Průhledná Všechno; zavřít Všechno;11 12 %% POUŽITÁ HISTORIE ČASU VÝMĚNY13 14 dt = 0.001;                                                                % časový krok15 t  = 0: dt: 1,50;                                                            %časový interval16 a0 = 1;                                                                    % aplikovaná amplituda posunutí17 fr = 1;                                                                    % použitá frekvence posunutí18 u  = a0 * sin ((2 * pi * fr) * t (1: délka (t)));                                     % použitého vektoru posunutí19 proti  = 2 * pi * fr * a0 * cos ((2 * pi * fr) * t (1: délka (t)));                             % použitého vektoru rychlosti20 n  = délka (u);                                                            % použité délky vektoru posunutí21 22 %% 1. POČÁTEČNÍ NASTAVENÍ23 % 1.1 Nastavte čtyři parametry modelu24 ka  = 5.0;                                                               % parametru modelu25 kb  = 0.5;                                                               % parametru modelu26 alfa  = 5.0;                                                               % parametru modelu27 beta  = 1.0;                                                               % parametru modelu28 % 1.2 Vypočítejte vnitřní parametry modelu 29 u0  = - (1 / (2 * alfa)) * log (10 ^ -20 / (ka-kb));                                 % interního parametru modelu30 f0  = ((ka-kb) / (2 * alfa)) * (1-exp (-2 * alfa * u0));                            % interního parametru modelu31 % 1.3 Inicializuje zobecněný vektor sil32 F  = nuly (1, n);33 34 %% 2. VÝPOČTY KAŽDÝ KROK KROKU35 36 pro i = 2: n37 % 2.1 Aktualizujte proměnnou historie38 uj = u(i-1)+2*u0*podepsat(proti(i))+podepsat(proti(i))*(1/alfa)*log(podepsat(proti(i))*(alfa/(ka-kb))*(-2*beta*u(i-1)+exp(beta*u(i-1))-exp(-beta*u(i-1))+kb*u(i-1)+podepsat(proti(i))*((ka-kb)/alfa)*exp(-2*alfa*u0)+podepsat(proti(i))*f0-F(i-1)));39 % 2.2 Vyhodnoťte zobecněnou sílu v čase t40 -li (podepsat(proti(i))*uj)-2*u0 < podepsat(proti(i))*u(i) || podepsat(proti(i))*u(i) < podepsat(proti(i))*uj41     F(i) = -2*beta*u(i)+exp(beta*u(i))-exp(-beta*u(i))+kb*u(i)-podepsat(proti(i))*((ka-kb)/alfa)*(exp(-alfa*(podepsat(proti(i))*(u(i)-uj)+2*u0))-exp(-2*alfa*u0))+podepsat(proti(i))*f0;42 jiný43 f (i) = -2 * beta * u (i) + exp (beta * u (i)) - exp (-beta * u (i)) + kb * u (i) + znaménko (v (i)) * f0;44 konec45 konec46 47 %% SPIKNUTÍ48 postava49 plot (u, f, 'k', 'šířka řádku', 4)50 soubor(gca, 'Velikost písma', 28)51 soubor(gca, 'FontName', 'Times New Roman')52 xlabel(„generalizovaný posun“), ylabel(‚zobecněná síla ')53 mřížka54 oddálit

Diferenciální modely

Integrované modely

Reference

^ Vaiana, Nicolò; Spizzuoco, Mariacristina; Serino, Giorgio (červen 2017). „Izolátory z ocelových lan pro seizmicky odlehčené konstrukce izolované od báze: experimentální charakterizace a matematické modelování“. Inženýrské stavby. 140: 498–514. doi:10.1016 / j.engstruct.2017.02.057.
^ Dimian, Mihai; Andrei, Petru (4. listopadu 2013). Hlukové jevy v hysteretických systémech. ISBN 9781461413745.
^ Vaiana, Nicolò; Sessa, Salvatore; Rosati, Luciano (leden 2021). „Zobecněná třída jednoosých modelů nezávislých na rychlosti pro simulaci asymetrických jevů mechanické hystereze“. Mechanické systémy a zpracování signálu. 146: 106984. doi:10.1016 / j.ymssp.2020.106984.
^ ^A ^b Vaiana, Nicolò; Sessa, Salvatore; Marmo, Francesco; Rosati, Luciano (26. dubna 2018). "Třída jednoosých fenomenologických modelů pro simulaci hysteretických jevů v mechanických systémech a materiálech nezávislých na rychlosti". Nelineární dynamika. 93 (3): 1647–1669. doi:10.1007 / s11071-018-4282-2.
^ Vaiana, Nicolò; Sessa, Salvatore; Marmo, Francesco; Rosati, Luciano (březen 2019). "Přesný a výpočetně efektivní jednoosý fenomenologický model pro ocelová a vlákny vyztužená elastomerová ložiska". Kompozitní struktury. 211: 196–212. doi:10.1016 / j.compstruct.2018.12.017.

[1] Vaiana, Nicolò; Spizzuoco, Mariacristina; Serino, Giorgio (červen 2017). „Izolátory z ocelových lan pro seizmicky odlehčené konstrukce izolované od báze: experimentální charakterizace a matematické modelování“. Inženýrské stavby. 140: 498–514. doi:10.1016 / j.engstruct.2017.02.057.

[2] Dimian, Mihai; Andrei, Petru (4. listopadu 2013). Hlukové jevy v hysteretických systémech. ISBN 9781461413745.

[3] Vaiana, Nicolò; Sessa, Salvatore; Rosati, Luciano (leden 2021). „Zobecněná třída jednoosých modelů nezávislých na rychlosti pro simulaci asymetrických jevů mechanické hystereze“. Mechanické systémy a zpracování signálu. 146: 106984. doi:10.1016 / j.ymssp.2020.106984.

[:0-4] A ^b Vaiana, Nicolò; Sessa, Salvatore; Marmo, Francesco; Rosati, Luciano (26. dubna 2018). "Třída jednoosých fenomenologických modelů pro simulaci hysteretických jevů v mechanických systémech a materiálech nezávislých na rychlosti". Nelineární dynamika. 93 (3): 1647–1669. doi:10.1007 / s11071-018-4282-2.

[5] Vaiana, Nicolò; Sessa, Salvatore; Marmo, Francesco; Rosati, Luciano (březen 2019). "Přesný a výpočetně efektivní jednoosý fenomenologický model pro ocelová a vlákny vyztužená elastomerová ložiska". Kompozitní struktury. 211: 196–212. doi:10.1016 / j.compstruct.2018.12.017.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]