Hyperkon - Hypercone

Stereografická projekce sférických kuželových generujících linií (červená), paralely (zelená) a hypermeridiáni (modrá). Kvůli konformní vlastnost stereografické projekce, křivky se protínají navzájem ortogonálně (ve žlutých bodech) jako ve 4D. Všechny křivky jsou kruhy nebo přímky. Generatrices a paralely generuje 3D duální kužel. Hypermeridiáni generují sadu soustředných koulí.

v geometrie, a hyperkon (nebo sférický kužel) je postava v 4-dimenzionálním Euklidovský prostor reprezentovaný rovnicí

{displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -w ^ {2} = 0.}

Je to kvadrický povrchu a je jedním z možných 3rozdělovače což jsou 4-rozměrné ekvivalenty kuželovitý povrch ve 3 rozměrech. Je také pojmenován sférický kužel protože jeho průsečíky s hyperplanes kolmo na w-osy jsou koule. Čtyřrozměrný pravý sférický hyperkon lze považovat za kouli, která se časem rozpíná a začíná její expanzi z jednoho bodového zdroje, takže střed rozpínající se koule zůstává pevný. An šikmý sférický hyperkon by byla koule, která se časem rozpíná a opět začíná svou expanzi z bodového zdroje, ale taková, že střed rozpínající se koule se pohybuje jednotnou rychlostí.

Parametrický formulář

Pravý sférický hyperkonus lze popsat funkcí

{displaystyle {vec {sigma}} (phi, heta, t) = (tscos heta cos phi, tscos heta sin phi, tssin heta, t)}

s vrcholem na počátku a rychlostí expanze s.

Funkce by pak mohla popsat šikmý sférický hyperkon

{displaystyle {vec {sigma}} (phi, heta, t) = (v_ {x} t + tscos heta cos phi, v_ {y} t + tscos heta sin phi, v_ {z} t + tssin heta, t) }

kde ${displaystyle (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z})}$ je 3-rychlost středu expandující koule. Příkladem takového kužele by byla expanze zvuková vlna při pohledu z pohledu pohybujícího se referenčního rámce: např. zvuková vlna a proudové letadlo jak je vidět z vlastního referenčního rámu trysky.

Všimněte si, že výše uvedené 3D povrchy obklopují 4D-hypervolumy, což jsou 4 kužely.

Geometrická interpretace

Sférický kužel se skládá ze dvou neomezených příkrovy, které se setkávají na počátku a jsou analogy příkrovů trojrozměrného kuželového povrchu. The horní příkrov odpovídá polovině s kladným w- koordinátoři a spodní příkrov odpovídá polovině s negativem w-souřadnice.

Pokud je omezen mezi hyperplany w = 0 a w = r pro nenulovou r, pak to může být uzavřeno a 3 míčky poloměru r, se středem (0,0,0,r), takže ohraničuje konečný 4-dimenzionální objem. Tento objem je dán vzorcem 1/3 $π$ r⁴, a je 4-dimenzionální ekvivalent pevný kužel. Míč lze považovat za „víčko“ u základny příkrovu 4-dimenzionálního kužele a původ se stává jeho „vrcholem“.

Tento tvar může být předpokládané do trojrozměrného prostoru různými způsoby. Pokud se promítá na xyz nadrovina, jeho obraz je a míč. Pokud se promítá na xyw, xzwnebo yzw hyperplanes, jeho obraz je a pevný kužel. Pokud se promítá na šikmou nadrovinu, jeho obraz je buď elipsoid nebo pevný kužel s elipsoidní základnou (připomínající zmrzlinový kornout ). Tyto obrazy jsou analogiemi možných obrazů plného kužele promítaného do 2 rozměrů.

Konstrukce

(Poloviční) hyperkonus může být konstruován způsobem analogickým konstrukci 3D kužele. 3D kužel lze považovat za výsledek stohování postupně menších disků na sebe, dokud se nezužují k bodu. Alternativně lze 3D kužel považovat za objem vymetený svisle rovnoramenný trojúhelník jak se otáčí kolem své základny.

4D hyperkonus může být sestrojen analogicky: skládáním postupně menších koulí na sebe ve 4. směru, dokud se nezužují k bodu, nebo tím, že hypervolume smetl čtyřstěn stojící vzpřímeně ve 4. směru, když se volně otáčí kolem svého základna v 3D nadrovině, na které spočívá.

Časová interpretace

Pokud w-souřadnice rovnice kulového kužele je interpretována jako vzdálenost ct, kde t je souřadnicový čas a C je rychlost světla (konstanta), pak je to tvar světelný kužel v speciální relativita. V tomto případě je rovnice obvykle psána jako:

{displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} - (ct) ^ {2} = 0,}

což je také rovnice pro sférické vlnové fronty světla.^[1] Horní příkrov je pak budoucí světelný kužel a spodní příkrov je minulý světelný kužel.^[2]

Viz také

Reference

^ A. Halpern (1988). 3000 vyřešených problémů ve fyzice. Série Schaum. Mc Graw Hill. p. 689. ISBN 978-0-07-025734-4.
^ R.G. Lerner, G.L. Trigg (1991). Encyklopedie fyziky (2. vyd.). Vydavatelé VHC. p.1054. ISBN 0-89573-752-3.

[1] A. Halpern (1988). 3000 vyřešených problémů ve fyzice. Série Schaum. Mc Graw Hill. p. 689. ISBN 978-0-07-025734-4.

[2] R.G. Lerner, G.L. Trigg (1991). Encyklopedie fyziky (2. vyd.). Vydavatelé VHC. p.1054. ISBN 0-89573-752-3.

[1]

[2]