Hilbert – Bernaysův paradox - Hilbert–Bernays paradox - Wikipedia

The Hilbert – Bernaysův paradox je rozlišovací paradox patřící do rodiny paradoxů odkaz (jako Berryho paradox ). Je pojmenován po David Hilbert a Paul Bernays.

Dějiny

Paradox se objevuje u Hilberta a Bernayse Grundlagen der Mathematik a je jimi používán k prokázání, že dostatečně silná konzistentní teorie nemůže obsahovat svůj vlastní referenční funktor.[1] Ačkoli to v průběhu 20. století zůstalo do značné míry bez povšimnutí, v poslední době bylo znovuobjeveno a oceněno kvůli výrazným obtížím, které přináší.[2]

Formulace

Stejně jako sémantický majetek pravda Zdá se, že se řídí naivním schématem:

(T) Věta 'P′ Je pravda právě tehdy P

(kde jednoduché uvozovky odkazují na jazykový výraz uvnitř uvozovek), zdá se, že sémantická vlastnost odkazu se řídí naivním schématem:

(R) Pokud A existuje, referent jména ′A′ Je totožné s A

Zvažte však jméno h pro (přirozená) čísla splňující:

(H) h je totožný s ′ (referent of h) +1′

Předpokládejme, že pro nějaké číslo n:

(1) Referent z h je totožný s n

Pak určitě referent h existuje a také existuje (referent of h) +1. Autor (R), z toho vyplývá, že:

(2) Odkaz na ′ (odkaz na h) +1 ′ je totožný s (referent of h)+1

(H) a princip nerozeznatelnost identit, je případ, že:

(3) Referent z h je totožný s (referent of h)+1

Ale opět díky nerozeznatelnosti identit (1) a (3) poskytují:

(4) Referent z h je totožný s n +1

a tím, že tranzitivita z identita, (1) spolu s (4) výnosy:

(5) n je totožný s n+1

Ale (5) je absurdní, protože žádné číslo není totožné s jeho nástupcem.

Řešení

Protože každá dostatečně silná teorie bude muset přijmout něco jako (H),[je zapotřebí objasnění ] absurditě se lze vyhnout pouze odmítnutím principu naivního odkazu (R) nebo odmítnutím klasická logika (což potvrzuje úvahu od (R) a (H) do absurdity). Na první přístup, obvykle cokoli říká o Paradox lháře přenáší hladce paradoxu Hilbert – Bernays.[3] Paradox se místo toho představuje výrazné obtíže pro mnoho řešení sledujících druhý přístup: například řešení paradoxu Lháře, která odmítají zákon vyloučeného prostředku (který je ne použitý paradoxem Hilbert – Bernays) popřeli, že existuje něco jako referent h;[4] řešení Paradox lháře které odmítají zákon nekondikce (což je také ne používané paradoxem Hilbert – Bernays) to tvrdili h odkazuje na více než jeden objekt.[5]

Reference

  1. ^ Hilbert, David; Bernays, Paul (1939). Grundlagen der Mathematik. Berlín: Springer. 263–278.
  2. ^ Priest, Graham (2005). Směrem k nebytí. Oxford: Oxford University Press. str. 156–178.
  3. ^ Keith Simmons (2003). "Reference a paradox". V Beall, JC (ed.). Lháři a hromady. Oxford: Oxford University Press. str. 230–252.
  4. ^ Field, Hartry (2008). Záchrana pravdy před paradoxem. Oxford: Oxford University Press. str. 291–293.
  5. ^ Priest, Graham (2005). Směrem k nebytí. Oxford: Oxford University Press. str. 156–178.