Hermitovo číslo - Hermite number

v matematika, Hermitova čísla jsou hodnoty Hermitovy polynomy při nulové argumentaci. Typicky jsou definovány pro Hermitovy polynomy fyziků.

Formální definice

Čísla H_n = H_n(0), kde H_n(X) je Poustevnický polynom řádu n, lze nazvat Hermitova čísla.^[1]

První Hermitova čísla jsou:

${displaystyle H_ {0} = 1,}$

${displaystyle H_ {1} = 0,}$

${displaystyle H_ {2} = - 2,}$

${displaystyle H_ {3} = 0,}$

${displaystyle H_ {4} = + 12,}$

${displaystyle H_ {5} = 0,}$

${displaystyle H_ {6} = - 120,}$

${displaystyle H_ {7} = 0,}$

${displaystyle H_ {8} = + 1680,}$

${displaystyle H_ {9} = 0,}$

${displaystyle H_ {10} = - 30240,}$

Rekurzní vztahy

Jsou získány z rekurzivní vztahy hermitovských polynomů pro X = 0:

${displaystyle H_ {n} = - 2 (n-1) H_ {n-2}.,!}$

Od té doby H₀ = 1 a H₁ = 0 lze vytvořit uzavřený vzorec pro H_n:

${displaystyle H_ {n} = {egin {cases} 0, & {mbox {if}} n {mbox {is odd}} (- 1) ^ {n / 2} 2 ^ {n / 2} (n- 1) !!, & {mbox {if}} n {mbox {is even}} end {cases}}}$

kde (n - 1)!! = 1 × 3 × ... × (n - 1).

Používání

Z generující funkce hermitovských polynomů z toho vyplývá

${displaystyle exp (-t ^ {2} + 2tx) = součet _ {n = 0} ^ {infty} H_ {n} (x) {frac {t ^ {n}} {n!}} ,!}$

Odkaz ^[1] dává formální mocenské řady:

${displaystyle H_ {n} (x) = (H + 2x) ^ {n} ,!}$

kde formálně n-tá síla H, Hⁿ, je n-th Hermitovo číslo, H_n. (Vidět Pupeční kalkul.)

Poznámky