Heines identita - Heines identity - Wikipedia

v matematická analýza, Heinina identita, pojmenoval podle Heinrich Eduard Heine^[1] je Fourierova expanze a reciproční odmocnina které Heine představil jako

${ displaystyle { frac {1} { sqrt {z- cos psi}}} = { frac { sqrt {2}} { pi}} součet _ {m = - infty} ^ { infty} Q_ {m - { frac {1} {2}}} (z) e ^ {im psi}}$

kde^[2] ${ displaystyle Q_ {m - { frac {1} {2}}}}$ je Legendární funkce druhého druhu, který má titul, m − ¹/₂, celé číslo a argument, z, skutečné a větší než jeden. Tento výraz lze zobecnit^[3] pro libovolné poloviční celočíselné síly následovně

${ displaystyle (z- cos psi) ^ {n - { frac {1} {2}}} = { sqrt { frac {2} { pi}}} { frac {(z ^ { 2} -1) ^ { frac {n} {2}}} { Gamma ({ frac {1} {2}} - n)}} suma _ {m = - infty} ^ { infty } { frac { Gamma (m-n + { frac {1} {2}})}} { Gamma (m + n + { frac {1} {2}})}} Q_ {m - { frac {1} {2}}} ^ {n} (z) e ^ {im psi},}$

kde ${ displaystyle scriptstyle , gama}$ je Funkce gama.

Reference