Hasegawa – Mima rovnice - Hasegawa–Mima equation

v fyzika plazmatu, Hasegawa – Mima rovnice, pojmenoval podle Akira Hasegawa a Kunioki Mima, je rovnice, která popisuje určitý režim plazma, kde jsou časové stupnice velmi rychlé a měřítko vzdálenosti ve směru magnetické pole je dlouhý. Rovnice je zvláště užitečná pro popis turbulence v některých tokamaky. Rovnice byla představena v dokumentech Hasegawa a Mima předložených v roce 1977 Fyzika tekutin, kde to porovnali s výsledky tokamaku ATC.

Předpoklady

• Magnetické pole je dostatečně velké na to, aby:

${ displaystyle { frac {1} { omega _ {ci}}} { frac { částečné} { částečné t}} ll 1}$

pro všechna požadovaná množství. Když se částice v plazmě pohybují magnetickým polem, otáčejí se v kruhu kolem magnetického pole. Frekvence kmitání, ${ displaystyle omega _ {ci}}$ známý jako frekvence cyklotronu nebo gyrofrekvence, je přímo úměrná magnetickému poli.

• Hustota částic sleduje podmínka kvazineutrality:

${ displaystyle n_ {e} přibližně Zn_ {i} ,}$

kde Z je počet protonů v iontech. Pokud mluvíme o vodíku, Z = 1, a n je stejné pro oba druhy. Tato podmínka platí, pokud elektrony mohou chránit elektrická pole. Mrak elektronů obklopí jakýkoli náboj s přibližným poloměrem známým jako Délka debye. Z tohoto důvodu tato aproximace znamená, že měřítko velikosti je mnohem větší než Debyeova délka. Hustotu iontových částic lze vyjádřit výrazem prvního řádu, což je hustota definovaná rovnicí podmínky kvazineutrality, a výrazem druhého řádu, který se od této rovnice liší.

• Hustota iontových částic prvního řádu je funkcí polohy, ale ne času. To znamená, že poruchy hustoty částic se mění v časovém měřítku mnohem pomaleji, než je rozsah zájmu. Hustota částic druhého řádu, která způsobuje hustotu náboje a tím i elektrický potenciál, se může časem měnit.
• Magnetické pole, B musí být jednotný v prostoru a nesmí být funkcí času. Magnetické pole se také pohybuje v časové ose mnohem pomaleji, než je rozsah zájmu. To umožňuje zanedbání časové derivace v rovnici rovnováhy hybnosti.
• Teplota iontů musí být mnohem menší než teplota elektronů. To znamená, že iontový tlak lze v rovnici rovnováhy hybnosti iontů zanedbávat.
• Elektrony následují a Boltzmannova distribuce kde:

${ displaystyle n = n_ {0} e ^ {e phi / T_ {e}} ,}$

Vzhledem k tomu, že se elektrony mohou volně pohybovat ve směru magnetického pole, odstírají elektrické potenciály. Tento screening způsobí, že kolem elektrických potenciálů se vytvoří Boltzmannova distribuce elektronů.

Rovnice

Rovnice Hasegawa – Mima je nelineární parciální diferenciální rovnice druhého řádu, která popisuje elektrický potenciál. Forma rovnice je:

${ displaystyle { frac { částečné} { částečné t}} doleva ( nabla ^ {2} phi - phi doprava) - doleva [ doleva ( nabla phi časy mathbf { hat {z}} right) cdot nabla right] left [ nabla ^ {2} phi - ln left (n_ {0} right) right] = 0.}$

Ačkoli podmínka kvazi neutrality platí, malé rozdíly v hustotě mezi elektrony a ionty způsobují elektrický potenciál. Rovnice Hasegawa – Mima je odvozena z rovnice kontinuity:

${ displaystyle { frac { částečné n} { částečné t}} + nabla cdot (n mathbf {v}) = 0.}$

Rychlost kapaliny lze aproximovat driftem E cross B:

${ displaystyle mathbf {v_ {E}} = { frac { mathbf {E} times mathbf {B}} {cB ^ {2}}} = { frac {- nabla phi times mathbf { hat {z}}} {cB}}.}$

Předchozí modely odvozovaly své rovnice z této aproximace. Divergence E kříž B drift je nula, což udržuje tekutinu nestlačitelnou. Při popisu vývoje systému je však velmi důležitá stlačitelnost kapaliny. Hasegawa a Mima tvrdili, že předpoklad byl neplatný. Rovnice Hasegawa – Mima zavádí termín druhého řádu pro rychlost kapaliny známý jako polarizační drift abychom zjistili divergenci rychlosti tekutiny. Vzhledem k předpokladu velkého magnetického pole je polarizační drift mnohem menší než drift E cross B. Představuje však důležitou fyziku.

Pro dvourozměrnou nestlačitelnou tekutinu, která není plazmou, platí Navier-Stokesovy rovnice říci:

${ displaystyle { frac { částečné} { částečné t}} doleva ( nabla ^ {2} psi doprava) - doleva [ doleva ( nabla psi krát mathbf { hat {z }} right) cdot nabla right] nabla ^ {2} psi = 0}$

po převzetí zvlnění rovnice rovnováhy hybnosti. Tato rovnice je téměř identická s rovnicí Hasegawa – Mima, až na to, že druhý a čtvrtý člen jsou pryč, a elektrický potenciál je nahrazen vektorovým potenciálem rychlosti kapaliny, kde:

${ displaystyle mathbf {v} = - nabla psi krát mathbf { hat {z}}.}$

První a třetí člen rovnice Hasegawa – Mima, které jsou stejné jako rovnice Navier Stokes, jsou členy zavedené přidáním polarizačního driftu. V limitu, kde je vlnová délka narušení elektrického potenciálu mnohem menší než gyroradius na základě rychlosti zvuku, se Hasegawa – Mima rovnice stávají stejnými jako dvourozměrná nestlačitelná tekutina.

Normalizace

Jedním ze způsobů, jak lépe porozumět rovnici, je pochopit, k čemu je normalizována, což vám poskytne představu o stupnicích zájmu. Čas, poloha a elektrický potenciál jsou normalizovány na t ', x' a ${ displaystyle phi '}$

Časová stupnice pro rovnici Hasegawa – Mima je inverzní iontová gyrofrekvence:

${ displaystyle t '= omega _ {ci} t, omega _ {ci} = { frac {eZB} {m_ {i} c}}.}$

Z předpokladu velkého magnetického pole je normalizovaný čas velmi malý. Stále je však dostatečně velká, aby z ní získala informace.

Stupnice vzdálenosti je gyroradius na základě rychlosti zvuku:

${ displaystyle x '= { frac {x} { rho _ {s}}}, rho _ {s} ^ {2} equiv { frac { T_ {e}} {m_ {i} omega _ {ci} ^ {2}}}.}$

Pokud se transformujete do k-prostoru, je jasné, že když k, vlnové číslo, je mnohem větší než jedna, výrazy, díky nimž se rovnice Hasegawa – Mima liší od rovnice odvozené z Navier-Stokesovy rovnice v dvourozměrném nestlačitelném toku, se stanou mnohem menší než ostatní.

Ze stupnic vzdálenosti a času můžeme určit stupnici pro rychlosti. Ukázalo se, že to je rychlost zvuku. Rovnice Hasegawa – Mima nám ukazuje dynamiku rychle se pohybujících zvuků na rozdíl od pomalejší dynamiky, jako jsou toky zachycené v MHD rovnice. Pohyb je ještě rychlejší než rychlost zvuku, protože časové stupnice jsou mnohem menší než časová normalizace.

Potenciál je normalizován na:

${ displaystyle phi '= { frac {e phi} {T_ {e}}}.}$

Protože se elektrony hodí a Maxwellian a podmínka kvazineutrality platí, je tento normalizovaný potenciál malý, ale podobný pořadí jako normalizovaný časový derivát.

Celá rovnice bez normalizace je:

${ displaystyle { frac {1} { omega _ {ci}}} { frac { částečné} { částečné t}} doleva ( rho _ {s} ^ {2} nabla ^ {2} { frac {e phi} {T_ {e}}} - { frac {e phi} {T_ {e}}} doprava) - doleva [ doleva ( rho _ {s} nabla { frac {e phi} {T_ {e}}} times mathbf { hat {z}} right) cdot rho _ {s} nabla right] left [ rho _ {s} ^ {2} nabla ^ {2} { frac {e phi} {T_ {e}}} - ln left ({ frac {n_ {0}} { omega _ {ci}}} vpravo) vpravo] = 0.}$

Ačkoli časová derivace dělená frekvencí cyklotronu je mnohem menší než jednota a normalizovaný elektrický potenciál je mnohem menší než jednota, pokud je gradient řádově jeden, oba termíny jsou srovnatelné s nelineárním termínem. Nerušený gradient hustoty může být také stejně malý jako normalizovaný elektrický potenciál a může být srovnatelný s ostatními termíny.

Jiné formy rovnice

Rovnice Hasegawa – Mima je často vyjádřena v jiné formě pomocí Poissonovy závorky. Tyto Poissonovy závorky jsou definovány jako:

${ displaystyle left [A, B right] equiv { frac { částečné A} { částečné x}} { frac { částečné B} { částečné y}} - { frac { částečné A } { částečné y}} { frac { částečné B} { částečné x}}.}$

Pomocí těchto Poissonova závorka , rovnici lze znovu vyjádřit jako:

${ displaystyle { frac { částečné} { částečné t}} doleva ( nabla ^ {2} phi - phi doprava) + doleva [ phi, nabla ^ {2} phi doprava ] - left [ phi, ln left ({ frac {n_ {0}} { omega _ {ci}}} right) right] = 0.}$

Často se předpokládá, že hustota částic se mění rovnoměrně pouze v jednom směru a rovnice je napsána v jiné formě. Poissonova závorka včetně hustoty je nahrazena definicí Poissonovy závorky a konstanta nahradí derivaci termínu závislého na hustotě.

Konzervovaná množství

Existují dvě veličiny, které jsou konzervovány v dvojrozměrné nestlačitelné tekutině Kinetická energie:

${ displaystyle int left ( nabla psi right) ^ {2} dV = int v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2} , dV.}$

A enstrofie:

${ displaystyle int left ( nabla ^ {2} psi right) ^ {2} , dV = int left ( nabla times mathbf {v} right) ^ {2} , dV.}$

Pro rovnici Hasegawa – Mima existují také dvě konzervované veličiny, které souvisí s výše uvedenými veličinami. Zobecněná energie:

${ displaystyle int left [ phi ^ {2} + left ( nabla phi right) ^ {2} right] , dV.}$

A zobecněná enstrofie:

${ displaystyle int left [ left ( nabla phi right) ^ {2} + left ( nabla ^ {2} phi right) ^ {2} right] , dV.}$

V limitu, kde je rovnice Hasegawa – Mima stejná jako nestlačitelná tekutina, se zobecněná energie a enstrofie stanou stejnými jako kinetická energie a enstrofie.

Viz také

• Magnetohydrodynamika
• Navier-Stokesovy rovnice
• Plazma (fyzika)
• Turbulence

Reference

• Hasegawa, Akira; Mima, Kunioki (1978). "Pseudo-trojrozměrná turbulence v magnetizované nerovnoměrné plazmě". Fyzika tekutin. Publikování AIP. 21 (1): 87–92. doi:10.1063/1.862083. ISSN  0031-9171.
• Hasegawa, Akira; Mima, Kunioki (1977-07-25). „Stacionární spektrum silné turbulence v magnetizované nerovnoměrné plazmě“. Dopisy o fyzické kontrole. Americká fyzická společnost (APS). 39 (4): 205–208. doi:10.1103 / fyzrevlett.39.205. ISSN  0031-9007.

externí odkazy

• http://www.ipp.mpg.de/~fsj/PAPERS_1/tutorial_3.pdf