Struktura haefligeru - Haefliger structure

V matematice, a Struktura haefligeru na topologický prostor je zobecněním a foliace potrubí, představený André Haefliger  (1970, 1971 ). Jakákoli foliace na potrubí indukuje strukturu Haefliger, která jednoznačně určuje foliaci.

Definice

Struktura Haefliger v prostoru X je určeno a Haefligerův cyklus. Kodimenzionálníq Haefliger cocycle se skládá z potahu X otevřenými soubory U_α, spolu s průběžnými mapami Ψ_αβ z U_α ∩ U_β k svazku bakterie místních difeomorfismů ${displaystyle mathbb {R} ^ {q}}$, splňující podmínku 1-cyklu

${displaystyle displaystyle Psi _ {gamma alpha} (u) = Psi _ {gamma eta} (u) Psi _ {eta alpha} (u)}$ pro ${displaystyle uin U_ {alpha} cap U_ {eta} cap U_ {gamma}.}$

Obecněji, C^r„PL“, analytické a spojité Haefligerovy struktury jsou definovány nahrazením svazků zárodků hladkých difeomorfismů příslušnými svazky.

Struktura a foliace haefligerů

Kodimenzionálníq foliaci lze specifikovat krytím X otevřenými soubory U_α, společně s a ponoření φ_α z každé otevřené sady U_α na ${displaystyle mathbb {R} ^ {q}}$, takže pro každé α, β existuje mapa Φ_αβ z U_α ∩ U_β místním difeomorfismům s

${displaystyle phi _ {alpha} (v) = Phi _ {alpha, eta} (u) (phi _ {eta} (v))}$

kdykoli proti je dostatečně blízko k u. Haefligerův cyklus je definován symbolem

${displaystyle Psi _ {alpha, eta} (u) =}$ zárodek ${displaystyle Phi _ {alpha, eta} (u)}$ na u.

Výhodou struktur Haefliger oproti foliacím je to, že jsou uzavřeny při zpětném rázu. Li F je spojitá mapa z X na Y pak je možné přijmout odvolání foliace Y pokud F je příčný k foliaci, ale pokud F není příčný zpětný ráz může být Haefliger struktura, která není foliace.

Klasifikace prostoru

Zapnuty dvě struktury Haefliger X se nazývají shodné, pokud se jedná o omezení struktur Haefliger na X× [0,1] až X× 0 a X×1.

Li F je spojitá mapa z X na Y, pak je zpětné stažení F struktur Haefliger na Y do struktur Haefliger dne X.

K dispozici je klasifikační prostor ${displaystyle BGamma _ {q}}$ pro codimension-q Haefliger struktury, která má univerzální strukturu Haefliger v následujícím smyslu. Pro jakýkoli topologický prostor X a průběžná mapa z X na ${displaystyle BGamma _ {q}}$ odvolání univerzální struktury Haefliger je struktura Haefliger X. Pro dobře vychovaný topologické prostory X to vyvolává korespondenci 1: 1 mezi třídami homotopy map X na ${displaystyle BGamma _ {q}}$ a třídy shody haefligerských struktur.

Reference

• Anosov, D.V. (2001) [1994], "Struktura Haefliger", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Haefliger, André (1970). "Feuilletages sur les variétés ouvertes". Topologie. 9: 183–194. doi:10.1016/0040-9383(70)90040-6. ISSN  0040-9383. PAN  0263104.
• Haefliger, André (1971). "Homotopie a integrovatelnost". Rozdělovače - Amsterdam 1970 (Proc. Nuffic Summer School). Lecture Notes in Mathematics, Vol. 197. 197. Berlín, New York: Springer-Verlag. 133–163. doi:10.1007 / BFb0068615. PAN  0285027.