H-stabilní potenciál - H-stable potential - Wikipedia

v statistická mechanika spojitých systémů se nazývá potenciál systému mnoha těl H-stabilní (nebo jednoduše stabilní) pokud potenciální energie na částici je ohraničena konstanta, která je nezávislá na celkovém počtu částic. Za mnoha okolností, pokud potenciál není H-stabilní, není možné definovat a velký kanonický funkce oddílu v konečném objemu, kvůli katastrofické konfigurace s nekonečnými částicemi umístěnými v konečném prostoru.

Klasická statistická mechanika

Definice

Zvažte soustavu částic v pozicích ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, ldots v R ^ { nu}}$; the interakce nebo potenciál mezi částicemi v poloze ${ displaystyle x_ {i}}$ a částice v poloze ${ displaystyle x_ {j}}$ je

${ displaystyle phi (x_ {i} -x_ {j}) ,}$

kde ${ displaystyle phi (x)}$ je skutečná, rovnoměrná (možná neomezená) funkce. Pak ${ displaystyle phi (x)}$ je H-stabilní, pokud existuje ${ displaystyle B> 0}$ takové, že pro každého ${ displaystyle n geq 1}$ a jakékoli ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n} v R ^ { nu}}$,

${ displaystyle V_ {n} (x_ {1}, x_ {2}, ldots x_ {n}): = součet _ {i$

Aplikace

• Li ${ displaystyle phi (0) < infty}$ a pro každého ${ displaystyle n geq 1}$ a každý ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, ldots x_ {n} v R ^ { nu}}$, drží to

${ displaystyle sum _ {i, j = 1} ^ {n} phi (x_ {i} -x_ {j}) geq 0}$

pak potenciál ${ displaystyle phi (x)}$ je stabilní (s konstantou ${ displaystyle B}$ dána ${ displaystyle { frac { phi (0)} {2}}}$). Tato podmínka platí například pro potenciály, které jsou: a) pozitivní funkce; b) funkce s určitou funkcí.

• Pokud potenciál ${ displaystyle phi (x)}$ je tedy stabilní pro jakoukoli ohraničenou doménu ${ displaystyle Lambda}$, jakýkoli ${ displaystyle beta> 0}$ a ${ displaystyle z> 0}$, série

${ displaystyle sum _ {n geq 1} { frac {z ^ {n}} {n!}} int _ { Lambda ^ {n}} ! dx_ {1} cdots dx_ {n} ; exp [- beta V_ {n} (x_ {1}, x_ {2}, ldots x_ {n})]}$

je konvergentní. Ve skutečnosti je pro omezené, horní a polokontinuální potenciály hypotéza nejen dostatečná, ale také nezbytná!

• The velký kanonický funkce oddílu v konečném objemu je

${ displaystyle Xi ( beta, z, Lambda): = 1+ součet _ {n geq 1} { frac {z ^ {n}} {n!}} int _ { Lambda ^ { n}} ! dx_ {1} cdots dx_ {n} ; exp [- beta V_ {n} (x_ {1}, x_ {2}, ldots x_ {n})]}$

proto je H-stabilita dostatečnou podmínkou pro existenci funkce oddílu v konečném objemu.

• Stabilita H nemusí nutně znamenat existenci nekonečný objem tlak. Například v a Coulombův systém (v dimenzi tři) potenciál je

${ displaystyle phi (x) = { frac {1} {4 pi | x |}}}$

a pokud jsou náboje všech částic stejné, pak je potenciální energie

${ displaystyle V_ {n} (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = součet _ {i$

a systém je H-stabilní s ${ displaystyle B = 0}$; ale termodynamický limit neexistuje, protože potenciál neexistuje temperovaný.

• Není-li potenciál omezen, není stabilita H nezbytnou podmínkou pro existenci velký kanonický funkce oddílu v konečném objemu. Například v případě interakce Yukawa ve dvou dimenzích,

${ displaystyle phi (x) sim - { frac {1} {2 pi}} ln {m | x |} qquad { rm {pro}} quad x sim 0}$

pokud mohou mít částice náboje s různými znaky, je to potenciální energie

${ displaystyle H_ {n} ({ podtržení {q}}, { podtržení {x}}) = součet _ {i$

kde ${ displaystyle q_ {j}}$ je náboj částice ${ displaystyle j}$. ${ displaystyle H_ {n} ({ underline {q}}, { underline {x}})}$ v není omezen zdola: například když ${ displaystyle n = 2}$ a ${ displaystyle q_ {1} q_ {2} = 1}$, potenciál dvou těl má minimum

${ displaystyle inf _ {x_ {1}, x_ {2}} phi (x_ {1} -x_ {2}) = - infty}$

Frohlich^[1] prokázal existenci limitu termodynamiky pro ${ displaystyle beta <4 pi}$.

Kvantová statistická mechanika

Pojem H-stability v kvantová mechanika je jemnější. Zatímco v klasickém případě není kinetická část hamiltoniánu důležitá, protože může být nulová nezávisle na poloze částic, v kvantovém případě hraje kinetický člen důležitou roli ve spodní hranici celkové energie z důvodu princip nejistoty. (Ve skutečnosti byla stabilita hmoty historickým důvodem pro zavedení takového principu do mechaniky.) Definice stability je:

${ displaystyle existuje B: { frac {E_ {0}} {N}}> - B, ,}$

kde E₀ je základní stav energie.

Klasická H-stabilita implikuje kvantovou H-stabilitu, ale obrácení je nepravdivé.

Kritérium je zvláště užitečné v statistická mechanika, kde H-stabilita je nezbytná pro existenci termodynamika, tj. pokud systém není H-stabilní, termodynamický limit neexistuje.

Reference

• J.L. Lebowitz a Elliott H. Lieb [1] (Physical Review Letters, 1969)