Systém Hénon – Heiles - Hénon–Heiles system - Wikipedia

Obrysový graf potenciálu Hénon – Heiles

Zatímco v Princeton v roce 1962, Michel Hénon a Carl Heiles pracoval na nelineárním pohybu hvězdy kolem galaktického středu s pohybem omezeným na rovinu. V roce 1964 publikovali článek s názvem „Použitelnost třetího integrálu pohybu: Některé numerické experimenty“.^[1] Jejich původní myšlenkou bylo najít třetího integrál pohybu v galaktické dynamice. Za tímto účelem vzali zjednodušený dvojrozměrný nelineární axi-symetrický potenciál a zjistili, že třetí integrál existuje pouze pro omezený počet počátečních podmínek. V moderní perspektivě se počáteční podmínky, které nemají třetí integrál pohybu, nazývají chaotické oběžné dráhy.

Úvod

The Hénon – Heilův potenciál lze vyjádřit jako^[2]

${ displaystyle V (x, y) = { frac {1} {2}} (x ^ {2} + y ^ {2}) + lambda left (x ^ {2} y - { frac { y ^ {3}} {3}} vpravo).}$

Hénon – Heiles Hamiltonian lze psát jako

${ displaystyle H = { frac {1} {2}} (p_ {x} ^ {2} + p_ {y} ^ {2}) + { frac {1} {2}} (x ^ {2 } + y ^ {2}) + lambda left (x ^ {2} y - { frac {y ^ {3}} {3}} right).}$

Systém Hénon-Heiles (HHS) je definován následujícími čtyřmi rovnicemi:

${ displaystyle { dot {x}} = p_ {x},}$

${ displaystyle { dot {p_ {x}}} = - x-2 lambda xy,}$

${ displaystyle { dot {y}} = p_ {y},}$

${ displaystyle { dot {p_ {y}}} = - y- lambda (x ^ {2} -y ^ {2}).}$

V klasické komunitě chaosu hodnota parametru ${ displaystyle lambda}$ se obvykle bere jako jednota. Protože HHS je uveden v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$, k jeho modelování potřebujeme Hamiltonian se 2 stupni volnosti. Lze to vyřešit v některých případech pomocí Painlevé analýza.

Kvantový Hénon – Heiles Hamiltonian

V kvantovém případě Hénon – Heiles Hamiltonian lze psát jako dvojrozměrný Schrödingerova rovnice.

Odpovídající dvojrozměrná Schrödingerova rovnice je dána vztahem

${ displaystyle i hbar { frac { částečné} { částečné t}} Psi (x, y) = left [{ frac {- hbar ^ {2}} {2m}} nabla ^ { 2} + { frac {1} {2}} (x ^ {2} + y ^ {2}) + lambda left (x ^ {2} y - { frac {1} {3}} y ^ {3} right) right] Psi (x, y).}$

Wada majetek výstupních nádrží

Systém Hénon – Heiles vykazuje bohaté dynamické chování. Obvykle Majetek Wada nelze vidět v Hamiltonovský systém, ale výstupní nádrž Hénon – Heiles ukazuje zajímavou vlastnost Wada. Je vidět, že když je energie větší než kritická, má systém Hénon – Heiles tři výstupní nádrže. V roce 2001 M. A. F. Sanjuán et al.^[3] ukázal, že v systému Hénon – Heiles mají výstupní nádrže Wada.

Reference

externí odkazy

• http://mathworld.wolfram.com/Henon-HeilesEquation.html