Seskupená Dirichletova distribuce - Grouped Dirichlet distribution

v statistika, seskupená Dirichletova distribuce (GDD) je vícerozměrné zobecnění Dirichletova distribuce Poprvé to popsali Ng a kol. 2008.^[1] Skupinová Dirichletova distribuce vzniká při analýze kategorických dat, kde některá pozorování mohou spadat do kterékoli ze sady jiných „ostrých“ kategorií. Například jeden může mít soubor dat skládající se z případů a kontrol za dvou různých podmínek. S úplnými údaji tvoří křížová klasifikace stavu onemocnění tabulku 2 (případ / kontrola) -x- (stav / žádný stav) s pravděpodobností buněk

Pokud však údaje zahrnují, řekněme, neodpovídající, o nichž je známo, že jde o kontroly nebo případy, pak křížová klasifikace stavu onemocnění tvoří tabulku 2 x 3. Pravděpodobnost posledního sloupce je součtem pravděpodobností prvních dvou sloupců v každém řádku, např.

GDD umožňuje úplný odhad pravděpodobností buněk za takových agregačních podmínek.^[1]

Rozdělení pravděpodobnosti

Zvažte uzavřenou simplexní sadu ${ displaystyle { mathcal {T}} _ {n} = vlevo { vlevo (x_ {1}, ldots x_ {n} vpravo) vlevo | x_ {i} geq 0, i = 1 , cdots, n, sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {n} = 1 doprava. doprava }}$ a ${ displaystyle mathbf {x} v { mathcal {T}} _ {n}}$. Psaní ${ displaystyle mathbf {x} _ {- n} = left (x_ {1}, ldots, x_ {n-1} right)}$ pro prvního ${ displaystyle n-1}$ prvky člena ${ displaystyle { mathcal {T}} _ {n}}$, distribuce ${ displaystyle mathbf {x}}$ pro dva oddíly má funkci hustoty danou

${ displaystyle operatorname {GD} _ {n, 2, s} left ( left. mathbf {x} _ {- n} right | mathbf {a}, mathbf {b} right) = { frac { left ( prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {a_ {i} -1} right) cdot left ( sum _ {i = 1} ^ { s} x_ {i} right) ^ {b_ {1}} cdot left ( sum _ {i = s + 1} ^ {n} x_ {i} right) ^ {b_ {2}}} { operatorname { mathrm {B}} left (a_ {1}, ldots, a_ {s} right) cdot operatorname { mathrm {B}} left (a_ {s + 1}, ldots, a_ {n} right) cdot operatorname { mathrm {B}} left (b_ {1} + sum _ {i = 1} ^ {s} a_ {i}, b_ {2} + sum _ {i = s + 1} ^ {n} a_ {i} right)}}}$

kde ${ displaystyle operatorname { mathrm {B}} vlevo ( mathbf {a} vpravo)}$ je funkce více proměnných beta.

Ng a kol^[1] pokračoval definovat m rozdělení seskupené Dirichletovy skupiny s hustotou ${ displaystyle mathbf {x} _ {- n}}$ dána

${ displaystyle operatorname {GD} _ {n, m, mathbf {s}} left ( left. mathbf {x} _ {- n} right | mathbf {a}, mathbf {b} right) = c_ {m} ^ {- 1} cdot left ( prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {a_ {i} -1} right) cdot prod _ {j = 1} ^ {m} left ( sum _ {k = s_ {j-1} +1} ^ {s_ {j}} x_ {k} right) ^ {b_ {j}}}$

kde ${ displaystyle mathbf {s} = vlevo (s_ {1}, ldots, s_ {m} vpravo)}$ je vektor celých čísel s ${ displaystyle 0 = s_ {0}$. Normalizační konstanta daná

${ displaystyle c_ {m} = left { prod _ {j = 1} ^ {m} operatorname { mathrm {B}} left (a_ {s_ {j-1} +1}, ldots , a_ {s_ {j}} right) right } cdot operatorname { mathrm {B}} left (b_ {1} + sum _ {k = 1} ^ {s_ {1}} a_ {k}, ldots, b_ {m} + sum _ {k = s_ {m-1} +1} ^ {s_ {m}} a_ {k} vpravo)}$

Autoři dále používali tyto distribuce v kontextu tří různých aplikací v lékařské vědě.

Reference