Skupinová disperze rychlosti - Group velocity dispersion

v optika, skupinová disperze rychlosti (GVD) je charakteristikou a disperzní médium, používá se nejčastěji k určení toho, jak médium ovlivní dobu trvání optického pulzu, který ním prochází. Formálně je GVD definována jako derivace inverzní funkce k skupinová rychlost světla v materiálu s ohledem na úhlová frekvence,^[1][2]

${ displaystyle { textrm {GVD}} ( omega _ {0}) equiv { frac { částečné} { částečné omega}} vlevo ({ frac {1} {v_ {g} ( omega)}} vpravo) _ { omega = omega _ {0}},}$

kde ${ displaystyle omega}$ a ${ displaystyle omega _ {0}}$ jsou úhlové frekvence a rychlost skupiny ${ displaystyle v_ {g} ( omega)}$ je definován jako ${ displaystyle v_ {g} ( omega) ekviv částečné omega / částečné k}$. Jednotky rozptylu rychlosti skupiny jsou [čas]²/ [vzdálenost], často vyjádřená ve fs²/ mm.

Ekvivalentně lze disperzi skupinové rychlosti definovat z hlediska vlnového vektoru závislého na médiu ${ displaystyle k ( omega)}$ podle

${ displaystyle { textrm {GVD}} ( omega _ {0}) equiv left ({ frac { částečné ^ {2} k} { částečné omega ^ {2}}} vpravo) _ { omega = omega _ {0}},}$

nebo z hlediska index lomu ${ displaystyle n ( omega)}$ podle

${ displaystyle { textrm {GVD}} ( omega _ {0}) equiv { frac {2} {c}} vlevo ({ frac { částečný n} { částečný omega}} pravý ) _ { omega = omega _ {0}} + { frac { omega _ {0}} {c}} vlevo ({ frac { částečné ^ {2} n} { částečné omega ^ {2}}} vpravo) _ { omega = omega _ {0}}.}$

Aplikace

K odhadu množství se nejčastěji používá disperze skupinové rychlosti cvrlikání která bude vynucena na světelný puls po průchodu zájmovým materiálem. Příslušný výraz je dán vztahem

${ displaystyle { textrm {chirp}} = ({ textrm {materiál}} , , { textrm {tloušťka}}) , times , { textrm {GVD}} ( omega _ {0 }) , times , ({ textrm {šířka pásma}}).}$

Derivace

Jednoduchý příklad toho, jak lze GVD použít k určení pulzního cvrlikání, lze vidět při pohledu na účinek a omezené transformací pulz trvání ${ displaystyle sigma}$ procházející rovinným médiem o tloušťce d. Před průchodem médiem jsou fázové posuny všech frekvencí vyrovnány v čase a pulz lze popsat jako funkci času podle výrazu

${ displaystyle E (t) = Ae ^ {- { frac {t ^ {2}} {4 sigma ^ {2}}}} e ^ {- i omega _ {0} t},}$

nebo ekvivalentně jako funkce frekvence podle výrazu

${ displaystyle E ( omega) = Be ^ {- { frac {(w-w_ {0}) ^ {2}} {4 (1/2 sigma) ^ {2}}}}}$

(parametry A a B jsou normalizační konstanty). Průchod médiem má za následek akumulaci fáze závislou na frekvenci ${ displaystyle Delta phi ( omega) = k ( omega) d}$ , takže lze post-medium puls popsat pomocí

${ displaystyle E ( omega) = Be ^ {- { frac {(w-w_ {0}) ^ {2}} {4 (1/2 sigma) ^ {2}}}} e ^ {ik ( omega) d}.}$

Obecně platí, že index lomu ${ displaystyle n ( omega)}$, a tedy vlnový vektor ${ displaystyle k ( omega) = n ( omega) omega / c}$, může být libovolná funkce ${ displaystyle omega}$, což ztěžuje analytické provedení inverzní Fourierovy transformace zpět do časové domény. Pokud je však šířka pásma pulzu úzká vzhledem ke zakřivení ${ displaystyle n}$pak lze dobré aproximace dopadu indexu lomu získat nahrazením ${ displaystyle k ( omega)}$ s jeho Taylorova expanze soustředěný kolem ${ displaystyle omega _ {0}}$:

${ displaystyle { frac {n ( omega) omega} {c}} = underbrace { frac {n ( omega _ {0}) omega _ {0}} {c}} _ {k ( omega _ {0})} quad + quad underbrace { left [{ frac {n ( omega _ {0}) + n '( omega _ {0}) omega _ {0}} {c}} right]} _ {k '( omega _ {0})} ( omega - omega _ {0}) quad + quad { frac {1} {2}} underbrace { left [{ frac {2n '( omega _ {0}) + n' '( omega _ {0}) omega _ {0}} {c}} right]} _ { textrm {GVD }} ( omega - omega _ {0}) ^ {2} quad + quad ...}$

Zkrácení tohoto výrazu a jeho vložení do výrazu ve střední frekvenci po médiu má za následek výraz v časové oblasti v médiu

${ displaystyle E_ {post} (t) = A_ {post} exp left [- { frac {(t-k '( omega _ {0}) d) ^ {2}} {4 ( sigma ^ {2} -i , { textrm {GVD}} , d / 2)}} vpravo] e ^ {i [k ( omega _ {0}) d- omega _ {0} t] }}$.

Při vyvážení se puls prodlouží na intenzitu standardní odchylka hodnota

${ displaystyle sigma _ {příspěvek} = { sqrt { sigma ^ {2} + left [d , times , { textrm {GVD}} ( omega _ {0}) , krát , left ({ frac {1} {2 sigma}} right) right] ^ {2}}}}$

tedy ověřuje počáteční výraz. Všimněte si, že pro a omezené transformací pulz σ_tσ_t = 1/2, proto je vhodné identifikovat 1 / (2σ_t) jako šířka pásma.

Alternativní odvození

Alternativní odvození vztahu mezi pulzním cvrlikáním a GVD, které bezprostředněji ilustruje důvod, proč lze GVD definovat derivací rychlosti inverzní skupiny, lze nastínit následovně. Zvažte dva transformačně omezené impulsy nosných frekvencí ${ displaystyle omega _ {1}}$ a ${ displaystyle omega _ {2}}$, které se zpočátku časově překrývají. Po průchodu médiem budou tyto dva impulsy vykazovat časové zpoždění mezi svými příslušnými středy pulsní obálky, dané

${ displaystyle Delta T = d left ({ frac {1} {v_ {g} ( omega _ {2})}} - { frac {1} {v_ {g} ( omega _ {1 })}}že jo).}$

Výraz lze aproximovat jako a Taylorova expanze dávat

${ displaystyle Delta T = d left ({ frac {1} {v_ {g} ( omega _ {1})}} + { frac { částečné} { částečné omega}} left ( { frac {1} {v_ {g} ( omega ')}} right) _ { omega' = omega _ {1}} ( omega _ {2} - omega _ {1}) - { frac {1} {v_ {g} ( omega _ {1})}} right),}$

nebo,

${ displaystyle Delta T = d , times , { textrm {GVD}} ( omega _ {1}) , times , ( omega _ {2} - omega _ {1}) .}$

Odtud je možné si představit zvětšení tohoto výrazu o dva pulsy na nekonečně mnoho. Rozdíl frekvence ${ displaystyle omega _ {2} - omega _ {1}}$ musí být nahrazeno šířkou pásma a časovým zpožděním ${ displaystyle Delta T}$ se vyvine do indukovaného cvrlikání.

Rozptyl skupinového zpoždění

Úzce související, ale nezávislé množství, je disperze skupinového zpoždění (GDD), definovaný tak, že disperze skupinové rychlosti je disperze skupinového zpoždění na jednotku délky. GDD se běžně používá jako parametr při charakterizaci vrstvených zrcadel, kde disperze skupinové rychlosti není nijak zvlášť dobře definována, přesto lze chirp indukovaný po odrazu od zrcadla dobře charakterizovat. Jednotky disperze skupinového zpoždění jsou [čas]², často vyjádřeno ve fs².

Skupinová disperze disperze (GDD) optického prvku je derivací skupinové zpoždění s ohledem na úhlová frekvence, a také druhý derivát optické fáze. ${ displaystyle D_ {2} ( omega) = - { frac { částečné T_ {g}} {d omega}} = { frac {d ^ {2} phi} {d omega ^ {2 }}}}$. Je to míra chromatická disperze prvku. GDD souvisí s parametrem celkové disperze ${ displaystyle D_ {tot}}$ tak jako

$${ displaystyle D_ {2} ( omega) = - { frac {2 pi c} { lambda ^ {2}}} D_ {tot}}$$

externí odkazy

• Online databáze indexu lomu: [1].
• Encyklopedie RP Photonics: [2].
• Komerční měření optické disperze s interferometrií bílého světla

Reference